Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2020 · Septiembre

Enunciado

Determinar la función

f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

, conociendo que tiene un punto de inflexión en

x = 1

y que la recta tangente a su gráfica en el punto

(-1, 0)

es el eje de abscisas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 5 \quad (a = -3,\ b = -9,\ c = -5)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay tres coeficientes y hay que traducir el enunciado en tres ecuaciones:

Punto de inflexión en $x = 1$ : $f''(1) = 0$ .
La gráfica pasa por $(-1, 0)$ : $f(-1) = 0$ .
La tangente en ese punto es el eje $OX$ ( $y = 0$ , pendiente nula): $f'(-1) = 0$ .

Resolvemos el sistema y comprobamos que en

x = 1

hay de verdad un punto de inflexión.

Desarrollo

Derivamos:

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b, \qquad f''(x) = 6x + 2a

Punto de inflexión en $x = 1$ :

f''(1) = 6 + 2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3

Tangente horizontal en $x = -1$ (el eje de abscisas tiene pendiente

0

f'(-1) = 3 - 2a + b = 0 \;\Longrightarrow\; 3 + 6 + b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -9

La gráfica pasa por $(-1, 0)$ :

f(-1) = -1 + a - b + c = 0 \;\Longrightarrow\; -1 - 3 + 9 + c = 0 \;\Longrightarrow\; c = -5

Por tanto,

f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 5

Comprobación.

$f(-1) = -1 - 3 + 9 - 5 = 0$ ✓ y $f'(-1) = 3 + 6 - 9 = 0$ ✓: la tangente en $(-1, 0)$ es $y = 0 + 0\cdot(x + 1)$ , es decir, $y = 0$ , el eje de abscisas.
$f''(x) = 6x - 6$ se anula en $x = 1$ y cambia de signo allí (negativa a la izquierda, positiva a la derecha); equivalentemente, $f'''(1) = 6 \neq 0$ . Así que $x = 1$ es un punto de inflexión de verdad, el $(1, f(1)) = (1, -16)$ .

Además,

f(x) = (x + 1)^2(x - 5)

: la raíz doble en

x = -1

es justo la razón de que la gráfica toque el eje

OX

sin atravesarlo allí.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«La tangente es el eje de abscisas» encierra dos condiciones: que el punto esté en la gráfica, $f(-1) = 0$ , y que la pendiente sea nula, $f'(-1) = 0$ . Si usas solo una, te falta una ecuación.

Para la inflexión, $f''(1) = 0$ es necesaria pero no suficiente: comprueba al final el cambio de signo de $f''$ (o que $f'''(1) \neq 0$ ).