Rectas y planos

a) Los vectores normales de los dos planos que definen $r$ son $\vec{n}_1 = (1, -1, -1)$ y $\vec{n}_2 = (1, 1, 1)$. El director de $r$:$$\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1 + 1)\,\vec{i} - (1 + 1)\,\vec{j} + (1 + 1)\,\vec{k} = (0,\ -2,\ 2)$$Tomamos el proporcional $\vec{u} = (0, 1, -1)$. La recta pedida pasa por $(1, 2, 3)$ con director $\vec{u}$:$$s \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 + t \\ z = 3 - t \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}$$En implícitas: $s \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y + z = 5 \end{array}\right.$ (como la primera coordenada del director es $0$, la ecuación continua llevaría un denominador nulo; mejor así).

Comprobación. $\vec{u}$ es perpendicular a las dos normales: $(0,1,-1)\cdot(1,-1,-1) = -1 + 1 = 0$ ✓ y $(0,1,-1)\cdot(1,1,1) = 1 - 1 = 0$ ✓. Además, $(1, 2, 3)$ no está en $r$ (en el primer plano, $1 - 2 - 3 - 1 = -5 \neq 0$), así que $s$ es paralela y distinta de $r$.

b) Sea $Q(1, 2, 3)$. La normal de $\pi$ es $\vec{n} = (3, 2, 1)$. La recta perpendicular a $\pi$ por $Q$:$$x = 1 + 3t, \qquad y = 2 + 2t, \qquad z = 3 + t$$La cortamos con $\pi$:$$3(1 + 3t) + 2(2 + 2t) + (3 + t) + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; 14 + 14t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1$$El pie de la perpendicular (proyección de $Q$ sobre $\pi$) es$$M = (1 - 3,\ 2 - 2,\ 3 - 1) = (-2,\ 0,\ 2)$$$M$ es el punto medio de $Q$ y su simétrico $Q'$, luego $Q' = 2M - Q$:$$Q' = (2\cdot(-2) - 1,\ 2\cdot 0 - 2,\ 2\cdot 2 - 3) = (-5,\ -2,\ 1)$$(Equivale a tomar $t = -2$ en la recta perpendicular.)

Comprobación. $M \in \pi$: $-6 + 0 + 2 + 4 = 0$ ✓. $\overrightarrow{QQ'} = (-6, -4, -2) = -2\,(3, 2, 1)$ es perpendicular a $\pi$ ✓. Y $Q$ y $Q'$ están a la misma distancia del plano, a lados opuestos: al sustituir, $Q$ da $3 + 4 + 3 + 4 = 14$ y $Q'$ da $-15 - 4 + 1 + 4 = -14$ ✓.