Rectas y planos

De la ecuación continua de $r$:$$A(2,\ 3,\ 4) \in r, \qquad \vec{v} = (1,\ -1,\ -3)$$a) La recta pedida pasa por $P(2, 1, 1)$ y tiene vector director $\vec{v}$:$$s \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{-3}$$o, en paramétricas, $x = 2 + t$, $y = 1 - t$, $z = 1 - 3t$, con $t \in \mathbb{R}$.

b) Primero, $P \notin r$: sustituyendo $P$ en la ecuación de $r$,$$\frac{2 - 2}{1} = 0, \qquad \frac{1 - 3}{-1} = 2$$que no son iguales. Así que $P$ y $r$ determinan un único plano. Un vector de ese plano es$$\overrightarrow{AP} = (2 - 2,\ 1 - 3,\ 1 - 4) = (0,\ -2,\ -3)$$que no es proporcional a $\vec{v}$. El vector normal es su producto vectorial:$$\vec{n} = \vec{v} \times \overrightarrow{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -3 \\ 0 & -2 & -3 \end{vmatrix} = (3 - 6)\,\vec{i} - (-3 - 0)\,\vec{j} + (-2 - 0)\,\vec{k} = (-3,\ 3,\ -2)$$Tomamos el proporcional $(3, -3, 2)$ y el punto $P(2, 1, 1)$:$$3(x - 2) - 3(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 3x - 3y + 2z - 5 = 0$$Comprobación. $P$: $6 - 3 + 2 - 5 = 0$ ✓. $A$: $6 - 9 + 8 - 5 = 0$ ✓. Y $\vec{v}$ es paralelo al plano: $\vec{n}\cdot\vec{v} = 3 + 3 - 6 = 0$ ✓, de modo que toda la recta $r$ está en $\pi$.