Matrices

a) Calculamos el cuadrado y la traspuesta:$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m + mn & n^2 \end{pmatrix}, \qquad A^t = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & n \end{pmatrix}$$Igualando elemento a elemento:$$\left\{\begin{array}{ll} 1 = 1 & \text{(fila 1, columna 1)} \\ 0 = m & \text{(fila 1, columna 2)} \\ m + mn = 0 & \text{(fila 2, columna 1)} \\ n^2 = n & \text{(fila 2, columna 2)} \end{array}\right.$$La segunda ecuación da $m = 0$, y con ella la tercera se cumple sola ($0 + 0 = 0$). La cuarta:$$n^2 - n = 0 \iff n(n - 1) = 0 \iff n = 0 \ \text{o}\ n = 1$$Hay, por tanto, dos soluciones: $m = 0,\ n = 0$ y $m = 0,\ n = 1$.

Comprobación. Con $m = 0$, $n = 1$: $A = I$ y $A^2 = I = A^t$ ✓. Con $m = 0$, $n = 0$:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A^t \ ✓$$b) $A$ es invertible si y solo si $|A| \neq 0$:$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{vmatrix} = 1\cdot n - 0\cdot m = n$$Luego $A$ no es invertible exactamente cuando $n = 0$, sea cual sea el valor de $m$. Para cualquier $n \neq 0$ sí lo es.

(De paso: de las dos soluciones de a), la de $n = 0$ da una matriz no invertible y la de $n = 1$ es la identidad.)