Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 1 & 0 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = \lambda\begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 = \lambda(\lambda - 1) - 0 = \lambda(\lambda - 1)$$$$|A| = 0 \iff \lambda = 0 \ \text{o}\ \lambda = 1$$Caso $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\lambda = 0$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} y = 1 \\ x + z = 2 \\ x + y + z = 2 \end{array}\right.$$El menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ (filas 1 y 2, columnas de $x$ e $y$) y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0\cdot(0 - 2) - 1\cdot(2 - 2) + 1\cdot(1 - 0) = 1 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible. Se ve también a mano: con $y = 1$, la tercera ecuación da $x + z = 1$, que contradice la segunda, $x + z = 2$.

Caso $\lambda = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + y = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x + y + z = 2 \end{array}\right.$$La segunda y la tercera ecuaciones son iguales, así que $\operatorname{rg}(A^*) \le 2$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ (filas 1 y 2, columnas de $x$ y $z$) da $\operatorname{rg}(A) = 2$, y por tanto $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

b) Con $\lambda = 1$ nos quedamos con las dos ecuaciones independientes:$$\left\{\begin{array}{l} x + y = 1 \\ x + y + z = 2 \end{array}\right.$$Restando la primera de la segunda, $z = 1$. Tomando $y = t$ como parámetro, $x = 1 - t$:$$(x,\ y,\ z) = (1 - t,\ t,\ 1), \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación. $(1 - t) + t = 1$ ✓ y $(1 - t) + t + 1 = 2$ ✓ (las ecuaciones 2.ª y 3.ª coinciden). Por ejemplo, con $t = 0$ sale $(1, 0, 1)$.