Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2020 · Julio

Enunciado

a) En un servicio de emergencias el

60\,\%

de los avisos que se reciben se clasifican con el código amarillo, el

30\,\%

con el naranja y el

10\,\%

con el rojo. Se sabe que el porcentaje de avisos recibidos que son falsas alarmas es

3\,\%

en el caso de código amarillo,

2\,\%

en el naranja y

1\,\%

en el rojo. Si se recibe un aviso,

a.1) (0,5 puntos) ¿qué probabilidad hay de que se trate de una falsa alarma?

a.2) (0,75 puntos) Si se sabe que el aviso recibido no ha sido falsa alarma, ¿qué probabilidad hay de que haya sido un aviso código rojo o naranja?

b) Si en una centralita se reciben 9 avisos,

b.1) (0,5 puntos) ¿Qué probabilidad hay de que la centralita reciba 2 o menos avisos naranjas?

b.2) (0,75 puntos) ¿Qué probabilidad hay de que todos los avisos sean amarillos o naranjas?

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para

n = 9

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a.1)}\ P(F) = 0{,}025 \qquad \text{a.2)}\ P(N \cup R \mid \overline{F}) = \tfrac{131}{325} \approx 0{,}4031}

\boxed{\text{b.1)}\ P(X \le 2) = 0{,}4628 \qquad \text{b.2)}\ 0{,}9^9 \approx 0{,}3874}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el aviso pasa por dos etapas: primero recibe un código (amarillo, naranja o rojo) y después resulta ser o no una falsa alarma. Es un diagrama de árbol de tres ramas: la probabilidad de falsa alarma sale con el teorema de la probabilidad total, y la de a.2) es una probabilidad condicionada «hacia atrás» (Bayes): sabemos el final (no es falsa alarma) y preguntamos por el código.

En b) cada uno de los 9 avisos es naranja o no con probabilidad fija

0{,}3

, independientemente de los demás: el número de avisos naranjas sigue una binomial

B(9;\ 0{,}3)

, y sus probabilidades se leen en la tabla. En b.2), «amarillo o naranja» es lo mismo que «no rojo»: basta con que haya cero avisos rojos en una

B(9;\ 0{,}1)

Desarrollo

Sucesos.

Am

N

R

: el aviso tiene código amarillo, naranja o rojo;

F

: el aviso es falsa alarma.

P(Am) = 0{,}6,\quad P(N) = 0{,}3,\quad P(R) = 0{,}1

P(F \mid Am) = 0{,}03,\quad P(F \mid N) = 0{,}02,\quad P(F \mid R) = 0{,}01

a.1) Por el teorema de la probabilidad total (sumamos las tres ramas que acaban en

F

P(F) = 0{,}6\cdot 0{,}03 + 0{,}3\cdot 0{,}02 + 0{,}1\cdot 0{,}01 = 0{,}018 + 0{,}006 + 0{,}001 = 0{,}025

a.2) Nos piden

P(N \cup R \mid \overline{F})

. Primero,

P(\overline{F}) = 1 - 0{,}025 = 0{,}975

. Como

N

R

son incompatibles,

P\bigl((N \cup R) \cap \overline{F}\bigr) = P(N)\,P(\overline{F} \mid N) + P(R)\,P(\overline{F} \mid R) = 0{,}3\cdot 0{,}98 + 0{,}1\cdot 0{,}99 = 0{,}294 + 0{,}099 = 0{,}393

P(N \cup R \mid \overline{F}) = \frac{P\bigl((N \cup R) \cap \overline{F}\bigr)}{P(\overline{F})} = \frac{0{,}393}{0{,}975} = \frac{131}{325} \approx 0{,}4031

(Otra forma:

1 - P(Am \mid \overline{F}) = 1 - \dfrac{0{,}6\cdot 0{,}97}{0{,}975} = 1 - \dfrac{0{,}582}{0{,}975} \approx 0{,}4031

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b.1) Suponemos que los códigos de los 9 avisos son independientes y que cada uno es naranja con probabilidad

0{,}3

. Entonces

X

= «número de avisos naranjas» sigue una binomial

B(9;\ 0{,}3)

. En la tabla, columna

p = 0{,}30

P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0{,}0404 + 0{,}1556 + 0{,}2668 = 0{,}4628

(Con la fórmula:

0{,}7^9 + 9\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7^8 + 36\cdot 0{,}3^2\cdot 0{,}7^7 \approx 0{,}4628

.)

b.2) Que todos sean amarillos o naranjas equivale a que ninguno sea rojo. Sea

Y

= «número de avisos rojos»

\sim B(9;\ 0{,}1)

. En la tabla, columna

p = 0{,}10

, fila

k = 0

P(Y = 0) = 0{,}3874

Es lo mismo que

0{,}9^9 \approx 0{,}3874

: cada aviso es amarillo o naranja con probabilidad

0{,}6 + 0{,}3 = 0{,}9

, y los 9 tienen que serlo.

Consejo

En a.2) el dato es «no es falsa alarma», así que las ramas que se usan son las de $P(\overline{F} \mid \cdot) = 0{,}98$ y $0{,}99$ , no las de $0{,}02$ y $0{,}01$ ; y el denominador es $P(\overline{F}) = 0{,}975$ , no 1.

En la binomial, di siempre qué es la variable, sus parámetros $n$ y $p$ , y que los avisos se suponen independientes. «2 o menos» incluye el 0: suma $k = 0, 1, 2$ .