Rectas y planos

Elementos de la recta $s$. Es el corte de los planos $x - 2y = 1 - b$ y $z = -3$, de normales $(1, -2, 0)$ y $(0, 0, 1)$. Su director:$$\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-2, -1, 0) \;\Longrightarrow\; \vec d_s = (2, 1, 0)$$Un punto: con $y = 0$, $x = 1 - b$ y $z = -3$, es decir, $Q(1 - b,\ 0,\ -3)$.

Elementos del plano $\pi$. Pasa por $A(-1, 1, 1)$ con directores $\vec u = (0, 1, 2)$ (de $\lambda$) y $\vec v = (1, a, -1)$ (de $\mu$). Su normal:$$\vec n = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & a & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 2a)\,\vec i - (0 - 2)\,\vec j + (0 - 1)\,\vec k = (-1 - 2a,\ 2,\ -1)$$a) Condición 1: $s$ paralela a $\pi$, es decir, $\vec d_s \perp \vec n$:$$\vec d_s \cdot \vec n = 2(-1 - 2a) + 1\cdot 2 + 0\cdot(-1) = -4a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0$$Con $a = 0$, $\vec n = (-1, 2, -1)$, y la ecuación general de $\pi$ (por el punto $A$) es$$-(x + 1) + 2(y - 1) - (z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x - 2y + z + 2 = 0$$Condición 2: un punto de $s$ está en $\pi$. Sustituimos $Q(1 - b, 0, -3)$:$$(1 - b) - 0 + (-3) + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; -b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0$$Comprobación: con $b = 0$, los puntos de $s$ cumplen $x - 2y = 1$ y $z = -3$, luego $x - 2y + z + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$: todos están en $\pi$ ✓.

b) Con $a = 0$: $\pi \equiv x - 2y + z + 2 = 0$, $\vec n = (1, -2, 1)$ (cambiado de signo). Con $b = 3$, $s \equiv \{x - 2y = -2,\ z = -3\}$, cuyo director sigue siendo $\vec d_s = (2, 1, 0)$ (el valor de $b$ solo traslada la recta).

El director de $r$ tiene que ser perpendicular a $\vec n$ (paralela a $\pi$) y a $\vec d_s$ (perpendicular a $s$):$$\vec d_r = \vec n \times \vec d_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 1)\,\vec i - (0 - 2)\,\vec j + (1 + 4)\,\vec k = (-1,\ 2,\ 5)$$Comprobamos que es perpendicular a los dos: $\vec d_r \cdot \vec n = -1 - 4 + 5 = 0$ y $\vec d_r \cdot \vec d_s = -2 + 2 + 0 = 0$ ✓.

Forma implícita. La recta que pasa por $P(1, -1, -8)$ con director $(-1, 2, 5)$ es el corte de dos planos que contienen a $P$:

• El plano paralelo a $\pi$ por $P$: $x - 2y + z + D = 0$ con $1 + 2 - 8 + D = 0$, $D = 5$: $\;x - 2y + z + 5 = 0$.
• El plano perpendicular a $s$ por $P$ (normal $\vec d_s$): $2x + y + D' = 0$ con $2 - 1 + D' = 0$, $D' = -1$: $\;2x + y - 1 = 0$.

Toda recta contenida en el primero es paralela a $\pi$, y toda recta contenida en el segundo es perpendicular a $s$; su corte es la recta buscada (su director es $(1, -2, 1) \times (2, 1, 0) = (-1, 2, 5)$, el mismo de antes):$$r \equiv \left\{\begin{array}{l} x - 2y + z + 5 = 0 \\ 2x + y - 1 = 0 \end{array}\right.$$$P$ no está en $\pi$ ($1 + 2 - 8 + 2 = -3 \neq 0$), así que $r$ es paralela a $\pi$ sin estar contenida en él.