Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2020 · Julio

Enunciado

Dados los planos

\pi_1 \equiv 2x + y + z - 2 = 0

\pi_2 \equiv \left\{\begin{array}{l} x = -1 + \lambda - \mu \\ y = -\lambda + \mu \\ z = -2 + 2\lambda \end{array}\right.

.

a) (1 punto) Calcula razonadamente el ángulo que forman los dos planos.

b) (1,5 puntos) Halla razonadamente el volumen del tetraedro formado por el punto

P(3, -3, 2)

y los puntos de corte del plano

\pi_1

con los ejes coordenados.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \;\Rightarrow\; \alpha = 30^\circ}

\boxed{\text{b)}\ A(1,0,0),\ B(0,2,0),\ C(0,0,2);\quad V = 1\ \text{u}^3}

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Estrategia

En a) el ángulo entre dos planos es el ángulo (agudo) entre sus vectores normales. El de

\pi_1

se lee en la ecuación general; el de

\pi_2

, que viene en paramétricas, es el producto vectorial de sus dos vectores directores. Luego aplicamos la fórmula del coseno con valor absoluto.

En b) los cortes con los ejes se obtienen anulando dos coordenadas a la vez. Con los cuatro vértices, el volumen del tetraedro es un sexto del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que salen de un mismo vértice.

Desarrollo

a) Vector normal de

\pi_1

\vec n_1 = (2, 1, 1)

.

El plano

\pi_2

pasa por

(-1, 0, -2)

y tiene vectores directores

\vec u = (1, -1, 2)

(coeficientes de

\lambda

) y

\vec v = (-1, 1, 0)

(coeficientes de

\mu

). Su normal es

\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 2)\,\vec i - (0 + 2)\,\vec j + (1 - 1)\,\vec k = (-2, -2, 0)

Tomamos

\vec n_2 = (1, 1, 0)

, paralelo a él. (De hecho,

x + y = -1

para todo

\lambda, \mu

\pi_2 \equiv x + y + 1 = 0

\cos\alpha = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|} = \frac{|2 + 1 + 0|}{\sqrt{4 + 1 + 1}\,\sqrt{1 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\alpha = \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = 30^\circ \quad \left(= \frac{\pi}{6}\ \text{rad}\right)

b) Cortes de $\pi_1$ con los ejes.

Eje $X$ ( $y = z = 0$ ): $2x - 2 = 0$ , $x = 1$ → $A(1, 0, 0)$ .
Eje $Y$ ( $x = z = 0$ ): $y - 2 = 0$ → $B(0, 2, 0)$ .
Eje $Z$ ( $x = y = 0$ ): $z - 2 = 0$ → $C(0, 0, 2)$ .

Vectores desde

A

\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0), \qquad \overrightarrow{AC} = (-1, 0, 2), \qquad \overrightarrow{AP} = (2, -3, 2)

Producto mixto:

\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AP}\right] = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -1\,(0 + 6) - 2\,(-2 - 4) + 0 = -6 + 12 = 6

V = \frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AP}\right]\right| = \frac{6}{6} = 1\ \text{u}^3

Comprobación con «base por altura entre tres». La base es el triángulo

ABC

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (4, 2, 2)

, de módulo

\sqrt{24} = 2\sqrt{6}

, así que su área es

\sqrt{6}

. La altura es la distancia de

P

\pi_1

d(P, \pi_1) = \frac{|2\cdot 3 - 3 + 2 - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}}, \qquad V = \frac{1}{3}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{3}{\sqrt{6}} = 1\ \text{u}^3

que coincide con el resultado anterior ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El ángulo entre dos planos lleva valor absoluto en el coseno: siempre se da el agudo. Si el plano viene en paramétricas, su normal es el producto vectorial de los dos directores, no uno de ellos.

En el tetraedro, no olvides el factor $\frac{1}{6}$ (un paralelepípedo sería el producto mixto entero) y el valor absoluto. Escribe las unidades: $\text{u}^3$ .