Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Castilla-La Mancha · 2020 · Julio

Enunciado

a) (1,25 puntos) Calcula razonadamente la siguiente integral:

\displaystyle\int \frac{3x - 2}{x^2 - 2x + 1}\,dx

.

b) (1,25 puntos) Calcula, justificadamente, el área acotada del recinto limitado por la gráfica de la función

g(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x

y el eje de abscisas.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \int \frac{3x-2}{x^2-2x+1}\,dx = 3\ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + C}

\boxed{\text{b)}\ \text{Área} = \frac{7}{12} + \frac{45}{4} = \frac{71}{6} \approx 11{,}83\ \text{u}^2}

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Estrategia

En a) tenemos una integral racional con el numerador de menor grado que el denominador, y el denominador es un cuadrado perfecto:

x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2

. Se descompone en fracciones simples con una raíz doble,

\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2}

, y cada sumando es inmediato (un logaritmo y una potencia).

En b) buscamos dónde corta

g

al eje

X

(sus raíces): entre ellas queda el recinto acotado. Como la gráfica puede quedar por debajo del eje en algún tramo, partimos la integral en cada tramo entre raíces y sumamos los valores absolutos.

Desarrollo

a) El denominador es

x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2

. Buscamos

A

B

tales que

\frac{3x - 2}{(x-1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} = \frac{A(x-1) + B}{(x-1)^2}

Igualando numeradores,

3x - 2 = A(x - 1) + B

con $x = 1$ : $1 = B$ ;
comparando el coeficiente de $x$ : $A = 3$ .

(Es lo mismo que escribir

3x - 2 = 3(x - 1) + 1

.) Entonces

\int \frac{3x - 2}{(x-1)^2}\,dx = \int \frac{3}{x-1}\,dx + \int (x-1)^{-2}\,dx = 3\ln|x - 1| + \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + C

\int \frac{3x - 2}{x^2 - 2x + 1}\,dx = 3\ln|x - 1| - \frac{1}{x - 1} + C

Comprobación derivando:

\dfrac{3}{x-1} + \dfrac{1}{(x-1)^2} = \dfrac{3(x-1) + 1}{(x-1)^2} = \dfrac{3x - 2}{(x-1)^2}

✓.

b) Puntos de corte con el eje $X$ .

g(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x = -x\,(x^2 - 2x - 3) = -x\,(x - 3)(x + 1) = 0 \iff x = -1,\ x = 0,\ x = 3

El recinto acotado está entre

x = -1

x = 3

, partido en dos tramos. Estudiamos el signo de

g

en cada uno:

En $(-1, 0)$ : $g\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{7}{8} < 0$ , la gráfica va por debajo del eje.
En $(0, 3)$ : $g(1) = -1 + 2 + 3 = 4 > 0$ , va por encima.

Primitiva:

G(x) = -\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{2x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2}

. Calculamos los valores que necesitamos:

G(-1) = -\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{-3 - 8 + 18}{12} = \frac{7}{12}, \qquad G(0) = 0, \qquad G(3) = -\frac{81}{4} + 18 + \frac{27}{2} = \frac{45}{4}

Por la regla de Barrow:

\int_{-1}^{0} g(x)\,dx = G(0) - G(-1) = -\frac{7}{12}, \qquad \int_{0}^{3} g(x)\,dx = G(3) - G(0) = \frac{45}{4}

La primera es negativa porque el tramo está bajo el eje; el área es su valor absoluto:

\text{Área} = \left|-\frac{7}{12}\right| + \frac{45}{4} = \frac{7}{12} + \frac{135}{12} = \frac{142}{12} = \frac{71}{6} \approx 11{,}83\ \text{u}^2

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Consejo

Con una raíz doble en el denominador, la descomposición lleva dos fracciones, $\frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}$ , y la segunda no da un logaritmo sino $-\frac{B}{x-1}$ . No olvides el valor absoluto del logaritmo ni la constante $C$ .

En b), si integras de $-1$ a $3$ de una vez sale $\frac{45}{4} - \frac{7}{12} = \frac{32}{3}$ , que no es el área: el tramo bajo el eje resta. Separa siempre en los puntos de corte.