Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2020 · Julio

Enunciado

Sea la función

f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1}

.

a) (1,5 puntos) Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función

f(x)

y clasifícalos.

b) (1 punto) Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función

f(x)

en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{máximo relativo en } (-1,\ 2),\quad \text{mínimo relativo en } (1,\ 0)}

\boxed{\text{b)}\ \text{tangente: } y = -2x + 1;\qquad \text{normal: } y = \tfrac{1}{2}x + 1}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El denominador

x^2 + 1

nunca se anula, así que

f

es continua y derivable en todo

\mathbb{R}

: los extremos relativos solo pueden estar donde

f'(x) = 0

. Derivamos con la regla del cociente, buscamos esos puntos y los clasificamos con el signo de $f'$ (crece → decrece es máximo; decrece → crece es mínimo). Las coordenadas piden también la

y

: hay que evaluar

f

.

En b) necesitamos

f(0)

y la pendiente

f'(0)

. La tangente es

y - f(0) = f'(0)(x - 0)

y la normal es perpendicular a ella, con pendiente

-\dfrac{1}{f'(0)}

Desarrollo

a) Dominio:

x^2 + 1 > 0

para todo

x

, luego

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}

. Observa que el numerador es

(x-1)^2

.

Derivamos con la regla del cociente:

f'(x) = \frac{(2x - 2)(x^2 + 1) - (x^2 - 2x + 1)\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}

Desarrollamos el numerador:

(2x^3 - 2x^2 + 2x - 2) - (2x^3 - 4x^2 + 2x) = 2x^2 - 2

f'(x) = \frac{2(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + 1)^2}

Puntos críticos:

f'(x) = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff x = -1

x = 1

.

El denominador

(x^2+1)^2

es siempre positivo, así que el signo de

f'

es el de

x^2 - 1

	$(-\infty, -1)$	$(-1, 1)$	$(1, +\infty)$
signo de $f'$	$+$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	crece

En $x = -1$ , $f$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo. $f(-1) = \dfrac{1 + 2 + 1}{1 + 1} = 2$ .
En $x = 1$ , $f$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo. $f(1) = \dfrac{1 - 2 + 1}{2} = 0$ .

(Tiene sentido:

f(x) = \dfrac{(x-1)^2}{x^2+1} \ge 0

y solo vale

0

x = 1

, así que ese mínimo es incluso absoluto.)

b) En

x = 0

f(0) = \frac{1}{1} = 1, \qquad f'(0) = \frac{2(0 - 1)}{(0 + 1)^2} = -2

Recta tangente (pendiente

-2

, por el punto

(0, 1)

y - 1 = -2(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = -2x + 1

Recta normal (perpendicular, pendiente

-\dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2}

y - 1 = \frac{1}{2}(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = \frac{1}{2}x + 1 \quad (\text{o } x - 2y + 2 = 0)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la regla del cociente el orden importa: $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ . Simplifica el numerador con calma; aquí todo se reduce a $2x^2 - 2$ y el resto del problema sale solo.

«Coordenadas de los extremos» pide el punto $(x, y)$ , no solo la abscisa. Y la pendiente de la normal es $-1/m$ , no $1/m$ ni $-m$ .