Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Castilla-La Mancha · 2020 · Julio

Enunciado

a) (1,75 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro

a \in \mathbb{R}

\left\{\begin{array}{rcrcrcl} ax & - & ay & - & z & = & a \\ ax & - & ay & & & = & a \\ ax & + & 2y & - & z & = & 1 \end{array}\right.

b) (0,75 puntos) Resuelve razonadamente el sistema anterior para

a = 2

, si es posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ a \neq 0, -2:\ \text{S.C.D.};\quad a = 0:\ \text{S.C.I.};\quad a = -2:\ \text{S.I.}}

\boxed{\text{b)}\ x = \tfrac{3}{4},\quad y = -\tfrac{1}{4},\quad z = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es la discusión clásica con el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes

M

con el de la ampliada

M^*

.

Como hay tantas ecuaciones como incógnitas, empezamos por

|M|

: donde no se anula, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado. Los valores que anulan

|M|

hay que estudiarlos uno a uno, sustituyendo el parámetro y calculando rangos (o, si el sistema queda muy sencillo, mirándolo directamente).

En b),

a = 2

cae en el caso compatible determinado; las ecuaciones son tan parecidas que restándolas sale la solución en dos líneas.

Desarrollo

a) Matriz de coeficientes y ampliada:

M = \begin{pmatrix} a & -a & -1 \\ a & -a & 0 \\ a & 2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & -a & -1 & a \\ a & -a & 0 & a \\ a & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)

Desarrollando

|M|

por la primera fila:

|M| = a\begin{vmatrix} -a & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + a\begin{vmatrix} a & 0 \\ a & -1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} a & -a \\ a & 2 \end{vmatrix} = a\cdot a + a\cdot(-a) - (2a + a^2) = -a^2 - 2a = -a\,(a + 2)

|M| = 0 \iff a = 0 \quad \text{o} \quad a = -2

Caso $a \neq 0$ y $a \neq -2$ .

|M| \neq 0

, luego

\operatorname{rg} M = 3 = \operatorname{rg} M^* =

número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 0$ . El sistema queda

\left\{\begin{array}{l} -z = 0 \\ 0 = 0 \\ 2y - z = 1 \end{array}\right.

M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}

tiene rango 2 (el menor

\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0

de las filas 1 y 3, y la fila 2 es nula). En

M^*

la segunda fila también es nula, así que

\operatorname{rg} M^* = 2

. Como

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2 < 3

: sistema compatible indeterminado. De hecho,

z = 0

y = \frac{1}{2}

x

queda libre: la solución es

\left(\lambda, \frac{1}{2}, 0\right)

\lambda \in \mathbb{R}

.

Caso $a = -2$ . El sistema queda

\left\{\begin{array}{l} -2x + 2y - z = -2 \\ -2x + 2y = -2 \\ -2x + 2y - z = 1 \end{array}\right.

La primera y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro e igualan a

-2

y a

1

: son contradictorias. Con rangos:

\operatorname{rg} M = 2

(el menor de las columnas 1 y 3 en las filas 1 y 2 es

\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0

), mientras que en la ampliada

\begin{vmatrix} -2 & -1 & -2 \\ -2 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -6 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg} M^* = 3

Como

\operatorname{rg} M = 2 \neq 3 = \operatorname{rg} M^*

: sistema incompatible.

b) Para

a = 2

(

\neq 0, -2

) el sistema es compatible determinado, así que tiene solución única:

\left\{\begin{array}{l} 2x - 2y - z = 2 \\ 2x - 2y = 2 \\ 2x + 2y - z = 1 \end{array}\right.

Restando la segunda ecuación a la primera: $-z = 0$ , luego $z = 0$ .
Restando la primera a la tercera: $4y = -1$ , luego $y = -\dfrac{1}{4}$ .
De la segunda: $2x = 2 + 2y = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ , luego $x = \dfrac{3}{4}$ .

Comprobación en la tercera ecuación:

2\cdot\frac{3}{4} + 2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right) - 0 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No basta con hallar los valores que anulan $|M|$ : cada uno se estudia aparte calculando $\operatorname{rg} M$ y $\operatorname{rg} M^*$ , y la conclusión se justifica con Rouché-Frobenius. Aquí los dos casos especiales salen distintos (uno indeterminado y otro incompatible).

En b), antes de resolver, di que $a = 2$ da un sistema compatible determinado: así justificas que la solución existe y es única. Y comprueba siempre en una ecuación que no hayas usado.