Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2020 · Septiembre

Enunciado

a) El

70\,\%

de los usuarios de instagram tiene menos de 34 años, el

25\,\%

entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el

5\,\%

más de 54 años. Se sabe que acceden a diario a dicha red: el

98\,\%

de los menores de 34 años, el

40\,\%

de los usuarios entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el

10\,\%

de los mayores de 54 años. Si se selecciona un usuario al azar:

a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que no acceda a diario a dicha red social?

a.2) [0,75 puntos] Si el usuario seleccionado al azar confiesa que accede diariamente, ¿qué probabilidad hay de que pertenezca al grupo que tiene entre 34 y 54 años (ambos incluidos)?

b) El tiempo que un usuario de la red instagram pasa conectado a diario a dicha red social sigue una ley normal de media 53 minutos y desviación típica 10 minutos.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que un usuario seleccionado al azar se conecte más de 30 minutos al día?

b.2) [0,75 puntos] ¿Qué porcentaje de usuarios (tanto por ciento) se conectan entre 40 y 67 minutos al día?

(Se adjunta la tabla de la distribución normal)

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Resultado

\boxed{\;\text{a.1)}\ P(\overline{D}) = 0{,}209 \qquad \text{a.2)}\ P(M \mid D) = \frac{100}{791} \approx 0{,}1264\;}

\boxed{\;\text{b.1)}\ P(X > 30) = 0{,}9893 \qquad \text{b.2)}\ 82{,}24\,\%\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es el esquema clásico de probabilidad total y Bayes: la población se reparte en tres grupos de edad (una partición) y, dentro de cada grupo, conocemos la probabilidad de acceder a diario. Un diagrama de árbol ordena los datos. En a.1 sumamos las ramas que acaban en «no accede a diario» (o calculamos la de «sí accede» y restamos de 1). En a.2 nos dicen el resultado (accede a diario) y preguntan por la causa (el grupo de edad): eso es Bayes, la rama que nos interesa dividida entre el total.

En b) el tiempo de conexión es

X \sim N(53, 10)

. Para usar la tabla hay que tipificar,

Z = \frac{X - 53}{10}

, y después aprovechar la simetría de la normal, porque la tabla solo da

P(Z \leq z)

para

z

positivos.

Desarrollo

a) Sucesos.

J

= «menos de 34 años»,

M

= «entre 34 y 54 años»,

V

= «más de 54 años» y

D

= «accede a diario». Datos:

P(J) = 0{,}70, \quad P(M) = 0{,}25, \quad P(V) = 0{,}05

P(D \mid J) = 0{,}98, \quad P(D \mid M) = 0{,}40, \quad P(D \mid V) = 0{,}10

Árbol (primer nivel, la edad; segundo nivel, si accede o no a diario):

Grupo	$P(\text{grupo})$	$P(D \mid \text{grupo})$	$P(\text{grupo} \cap D)$	$P(\text{grupo} \cap \overline{D})$
$J$	$0{,}70$	$0{,}98$	$0{,}686$	$0{,}014$
$M$	$0{,}25$	$0{,}40$	$0{,}100$	$0{,}150$
$V$	$0{,}05$	$0{,}10$	$0{,}005$	$0{,}045$
Total	$1$		$0{,}791$	$0{,}209$

a.1) Probabilidad total.

P(D) = 0{,}70\cdot 0{,}98 + 0{,}25\cdot 0{,}40 + 0{,}05\cdot 0{,}10 = 0{,}686 + 0{,}100 + 0{,}005 = 0{,}791

P(\overline{D}) = 1 - 0{,}791 = 0{,}209

(También sumando la última columna:

0{,}014 + 0{,}150 + 0{,}045 = 0{,}209

✓.)

a.2) Bayes.

P(M \mid D) = \frac{P(M \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}25\cdot 0{,}40}{0{,}791} = \frac{0{,}100}{0{,}791} = \frac{100}{791} \approx 0{,}1264

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X

= tiempo diario de conexión (en minutos),

X \sim N(53, 10)

. Tipificamos con

Z = \dfrac{X - 53}{10} \sim N(0, 1)

.

b.1)

P(X > 30) = P\left(Z > \frac{30 - 53}{10}\right) = P(Z > -2{,}3)

Por la simetría de la normal,

P(Z > -2{,}3) = P(Z < 2{,}3)

, y en la tabla:

P(X > 30) = P(Z \leq 2{,}3) = 0{,}9893

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b.2)

P(40 < X < 67) = P\left(\frac{40 - 53}{10} < Z < \frac{67 - 53}{10}\right) = P(-1{,}3 < Z < 1{,}4) = P(Z \leq 1{,}4) - P(Z \leq -1{,}3)

Con la simetría,

P(Z \leq -1{,}3) = 1 - P(Z \leq 1{,}3) = 1 - 0{,}9032 = 0{,}0968

. Por tanto

P(40 < X < 67) = 0{,}9192 - 0{,}0968 = 0{,}8224

Es decir, se conectan entre 40 y 67 minutos al día el

82{,}24\,\%

de los usuarios.

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Consejo

En a.2 el denominador es $P(D) = 0{,}791$ , no 1: «confiesa que accede diariamente» es la condición, así que se divide entre la probabilidad de acceder a diario. Ten clara cuál es la condición antes de escribir la fórmula de Bayes.

En la normal, la tabla solo da $P(Z \leq z)$ con $z \geq 0$ : los valores negativos se pasan a positivos por simetría. Y si piden un porcentaje, da el resultado en tanto por ciento.