Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2020 · Septiembre

Enunciado

Dadas las rectas

r \equiv \left\{\begin{array}{l} 2x - 2y = 4 \\ z = 0 \end{array}\right.

\quad s \equiv \dfrac{x}{3} = \dfrac{y + 2}{-2} = \dfrac{z - 1}{1}

y el punto

P(-1, 0, 2)

.

a) [1,25 puntos] Determina razonadamente la posición relativa de las rectas

r

s

.

b) [1,25 puntos] Halla razonadamente la ecuación general del plano que pasa por el punto

P

y es paralelo a las rectas

r

s

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ r \text{ y } s \text{ se cruzan} \quad \bigl(\det(\overrightarrow{RS}, \vec{u}, \vec{v}) = -5 \neq 0\bigr)\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \sigma \equiv x - y - 5z + 11 = 0\;}

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Estrategia

Para las dos preguntas necesitamos de cada recta un punto y un vector director. La recta

s

los da a la vista (forma continua); la

r

viene como corte de dos planos, así que buscamos un punto que cumpla las dos ecuaciones y un director (o bien resolviendo, o con el producto vectorial de los normales).

En a) comparamos los directores: si no son proporcionales, las rectas se cortan o se cruzan, y lo decide el determinante formado por los dos directores y el vector que une un punto de cada recta (si es cero, son coplanarias y se cortan; si no, se cruzan).

En b) el plano es paralelo a las dos rectas, así que contiene sus dos direcciones: su vector normal es perpendicular a ambas, es decir, el producto vectorial de los directores. Con ese normal y el punto

P

sale la ecuación general.

Desarrollo

Elementos de $r$ . De

2x - 2y = 4

sale

x - y = 2

, y

z = 0

. Tomando

y = \lambda

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 2 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{array}\right. \qquad R(2,\ 0,\ 0) \in r, \qquad \vec{u} = (1,\ 1,\ 0)

(Lo mismo sale con los normales:

(2, -2, 0) \times (0, 0, 1) = (-2, -2, 0)

, proporcional a

(1, 1, 0)

.)

Elementos de $s$ . De la forma continua:

S(0,\ -2,\ 1) \in s, \qquad \vec{v} = (3,\ -2,\ 1)

a) Posición relativa. Los directores

(1, 1, 0)

(3, -2, 1)

no son proporcionales (

\frac{1}{3} \neq \frac{1}{-2}

), así que las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan.

Vector que une un punto de cada recta:

\overrightarrow{RS} = (0 - 2,\ -2 - 0,\ 1 - 0) = (-2,\ -2,\ 1)

\det\bigl(\overrightarrow{RS},\ \vec{u},\ \vec{v}\bigr) = \begin{vmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -2\,(1 - 0) + 2\,(1 - 0) + 1\,(-2 - 3) = -2 + 2 - 5 = -5 \neq 0

Los tres vectores son linealmente independientes (

\operatorname{rg}(\vec{u}, \vec{v}) = 2

\operatorname{rg}(\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{RS}) = 3

), así que las rectas no están en un mismo plano: $r$ y $s$ se cruzan.

b) Vector normal del plano. El plano

\sigma

buscado contiene las direcciones

\vec{u}

\vec{v}

\vec{n}_\sigma = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 0)\,\vec{i} - (1 - 0)\,\vec{j} + (-2 - 3)\,\vec{k} = (1,\ -1,\ -5)

Ecuación.

\sigma \equiv x - y - 5z + D = 0

. Imponemos que pase por

P(-1, 0, 2)

-1 - 0 - 10 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 11 \;\Longrightarrow\; \sigma \equiv x - y - 5z + 11 = 0

Comprobación.

$\vec{n}_\sigma \cdot \vec{u} = 1 - 1 + 0 = 0$ y $\vec{n}_\sigma \cdot \vec{v} = 3 + 2 - 5 = 0$ ✓: el plano es paralelo a las dos direcciones.
$R(2, 0, 0)$ : $2 - 0 - 0 + 11 = 13 \neq 0$ , y $S(0, -2, 1)$ : $0 + 2 - 5 + 11 = 8 \neq 0$ : ninguna de las rectas está contenida en $\sigma$ , así que es paralelo a ambas en sentido estricto.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para decidir entre «se cortan» y «se cruzan» no basta con ver que los directores no son proporcionales: hace falta el determinante con el vector $\overrightarrow{RS}$ (o resolver el sistema de las cuatro ecuaciones). Si es cero se cortan; si no, se cruzan.

Al pasar $r$ de implícitas a paramétricas, comprueba el punto en las dos ecuaciones: un error de signo en el punto cambia el determinante y, con él, la posición relativa.