Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Castilla-La Mancha · 2020 · Septiembre

Enunciado

Sean el plano

\pi \equiv x + 2y - z - 4 = 0

y la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x - 2y - 2 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{array}\right.

.

a) [1 punto] Calcula razonadamente la distancia del punto

P(1, 2, -1)

al plano

\pi

.

b) [1,5 puntos] Calcula razonadamente el área del triángulo que forman el punto intersección de la recta

r

con el plano

\pi

, y los puntos

B(1, -1, 2)

C(0, 1, 1)

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ d(P, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}816\ \text{u}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ A = r \cap \pi = (2, 0, -2); \quad \text{Área} = \frac{\sqrt{83}}{2} \approx 4{,}555\ \text{u}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se aplica directamente la fórmula de la distancia de un punto a un plano: se sustituye el punto en la ecuación del plano, se toma el valor absoluto y se divide entre el módulo del vector normal.

En b) primero hay que encontrar el tercer vértice,

A = r \cap \pi

. La recta viene como corte de dos planos; la pasamos a paramétricas y sustituimos en

\pi

, con lo que sale una ecuación de primer grado en el parámetro. Con los tres vértices, el área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados que salen del mismo vértice.

Desarrollo

a) Con

\vec{n}_\pi = (1, 2, -1)

P(1, 2, -1)

d(P, \pi) = \frac{|1 + 2\cdot 2 - (-1) - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + 4 + 1 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}816\ \text{u}

b) Paramétricas de $r$ . Tomando

z = \lambda

, de la segunda ecuación

y = 2 + \lambda

, y de la primera

x = 2 + 2y = 2 + 4 + 2\lambda = 6 + 2\lambda

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 6 + 2\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = \lambda \end{array}\right.

Intersección con $\pi$ . Sustituimos en

x + 2y - z - 4 = 0

(6 + 2\lambda) + 2(2 + \lambda) - \lambda - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; 6 + 3\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -2

A = (6 - 4,\ 2 - 2,\ -2) = (2,\ 0,\ -2)

Comprobación: en

r

2 - 0 - 2 = 0

0 - (-2) - 2 = 0

; en

\pi

2 + 0 + 2 - 4 = 0

✓.

Vectores de dos lados desde

A

\overrightarrow{AB} = (1 - 2,\ -1 - 0,\ 2 + 2) = (-1,\ -1,\ 4), \qquad \overrightarrow{AC} = (0 - 2,\ 1 - 0,\ 1 + 2) = (-2,\ 1,\ 3)

Producto vectorial:

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & 4 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (-3 - 4)\,\vec{i} - (-3 + 8)\,\vec{j} + (-1 - 2)\,\vec{k} = (-7,\ -5,\ -3)

\bigl|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\bigr| = \sqrt{49 + 25 + 9} = \sqrt{83}

Como el producto vectorial no es nulo, los tres puntos no están alineados y forman un triángulo de área

\text{Área} = \frac{1}{2}\,\bigl|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\bigr| = \frac{\sqrt{83}}{2} \approx 4{,}555\ \text{u}^2

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Consejo

En la distancia punto-plano, el plano tiene que estar igualado a cero ( $x + 2y - z - 4 = 0$ ) y el término independiente entra en el numerador; el valor absoluto es imprescindible.

En el área del triángulo no olvides el $\frac{1}{2}$ : el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo. Comprueba el punto de corte sustituyéndolo en las tres ecuaciones.