Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Castilla-La Mancha · 2020 · Septiembre

Enunciado

a) [1,25 puntos] Calcula razonadamente la siguiente integral:

\displaystyle \int \frac{-dx}{1 + e^x}

.
(Cambio de variable sugerido:

e^x = t

.)

b) [1,25 puntos] Determina justificadamente el área acotada que encierran las gráficas de las funciones

f(x) = -x^2 + 2x + 4

g(x) = x + 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ \int \frac{-dx}{1 + e^x} = \ln(1 + e^x) - x + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \text{Área} = \frac{9}{2} = 4{,}5\ \text{u}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) seguimos la pista del enunciado: con

e^x = t

, también cambia el

dx

(

x = \ln t

, así que

dx = \frac{dt}{t}

). La integral se convierte en una racional en

t

, que se resuelve descomponiendo en fracciones simples. Al final deshacemos el cambio y comprobamos derivando.

En b) el recinto está entre una parábola (que abre hacia abajo) y una recta. Los pasos son los de siempre: hallar los puntos de corte (serán los límites de integración), ver qué función va por encima en ese intervalo e integrar la diferencia con la regla de Barrow.

Desarrollo

a) Cambio de variable.

e^x = t \;\Longrightarrow\; x = \ln t \;\Longrightarrow\; dx = \dfrac{dt}{t}

\int \frac{-dx}{1 + e^x} = \int \frac{-1}{1 + t}\cdot\frac{dt}{t} = -\int \frac{dt}{t\,(1 + t)}

Fracciones simples.

\frac{1}{t\,(1 + t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1 + t} \;\Longrightarrow\; 1 = A\,(1 + t) + B\,t

Con

t = 0

A = 1

. Con

t = -1

1 = -B

, así que

B = -1

. Por tanto

-\int \frac{dt}{t\,(1 + t)} = -\int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1 + t} \right) dt = -\ln|t| + \ln|1 + t| + C

Deshacemos el cambio (

t = e^x > 0

, así que sobran los valores absolutos y

\ln e^x = x

\int \frac{-dx}{1 + e^x} = \ln(1 + e^x) - x + C

Comprobación derivando:

\frac{d}{dx}\bigl[\ln(1 + e^x) - x\bigr] = \frac{e^x}{1 + e^x} - 1 = \frac{e^x - 1 - e^x}{1 + e^x} = \frac{-1}{1 + e^x}

que es justo el integrando ✓.

b) Puntos de corte.

-x^2 + 2x + 4 = x + 2 \;\Longrightarrow\; -x^2 + x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x - 2)(x + 1) = 0

Se cortan en

x = -1

(punto

(-1, 1)

) y en

x = 2

(punto

(2, 4)

).

Qué función va por encima. En un punto intermedio, por ejemplo

x = 0

f(0) = 4

g(0) = 2

, así que en

(-1, 2)

la parábola va por encima de la recta. De hecho,

f(x) - g(x) = -x^2 + x + 2 = -(x - 2)(x + 1) > 0 \quad \text{para } -1 < x < 2

Área.

\text{Área} = \int_{-1}^{2} \bigl(-x^2 + x + 2\bigr)\,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}

= \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

Comprobación: para una parábola y una recta que se cortan en

x_1

x_2

, el área es

\frac{|a|\,(x_2 - x_1)^3}{6}

, con

a

el coeficiente de

x^2

de la diferencia:

\frac{1\cdot 3^3}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En un cambio de variable cambia también el diferencial: con $e^x = t$ , $dx = dt/t$ . Olvidar ese $1/t$ deja una integral $\int \frac{-dt}{1 + t}$ que da un resultado falso. Comprueba siempre derivando, y no olvides la constante $C$ .

En el área, los límites de integración son los puntos de corte y se integra «la de arriba menos la de abajo». El resultado de un área es positivo y lleva unidades ( $\text{u}^2$ ).