Optimización

a) Variables. Sea $x$ el lado de la base cuadrada y $h$ la altura, ambos en dm ($x > 0$, $h > 0$).

Condición del volumen:$$V = x^2 h = 108 \;\Longrightarrow\; h = \frac{108}{x^2}$$Función que se minimiza. Base: $x^2$. Cada cara lateral es un rectángulo de $x \times h$, y hay cuatro:$$S = x^2 + 4xh = x^2 + 4x\cdot\frac{108}{x^2} = x^2 + \frac{432}{x}, \qquad x > 0$$Derivada e igualación a cero:$$S'(x) = 2x - \frac{432}{x^2} = 0 \;\Longrightarrow\; 2x^3 = 432 \;\Longrightarrow\; x^3 = 216 \;\Longrightarrow\; x = 6$$Comprobación del mínimo:$$S''(x) = 2 + \frac{864}{x^3} \;\Longrightarrow\; S''(6) = 2 + \frac{864}{216} = 2 + 4 = 6 > 0,$$así que en $x = 6$ hay un mínimo relativo. Además es el mínimo absoluto en $(0, +\infty)$: $S'(x) < 0$ para $0 < x < 6$ y $S'(x) > 0$ para $x > 6$ (la función decrece y luego crece).

Altura: $h = \dfrac{108}{6^2} = \dfrac{108}{36} = 3$ dm.

La superficie mínima es $S(6) = 36 + \dfrac{432}{6} = 36 + 72 = 108\ \text{dm}^2$. El volumen cuadra: $6^2\cdot 3 = 108\ \text{dm}^3$.

b) Punto de tangencia: $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1$, es decir, $(1, 1)$.

Pendiente: $f'(x) = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; f'(1) = 3$.

Ecuación punto-pendiente:$$y - f(1) = f'(1)\,(x - 1) \;\Longrightarrow\; y - 1 = 3(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = 3x - 2$$Comprobación: la recta pasa por $(1, 1)$, porque $3\cdot 1 - 2 = 1$, y $x^2 + x - 1 - (3x - 2) = (x - 1)^2 \geq 0$, que solo se anula en $x = 1$: la recta toca a la parábola en ese punto sin cortarla, como corresponde a una tangente.