Sistemas de ecuaciones

a) Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & a & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & a & a \\ 1 & a & 2 & a \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$Determinante de $A$ (por la primera fila):$$|A| = 1\cdot(a - 2) - 2\cdot(1 + 2) + a\cdot(1 + a) = a - 2 - 6 + a + a^2 = a^2 + 2a - 8$$$$a^2 + 2a - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \;\Longrightarrow\; a = 2 \ \text{ o } \ a = -4$$Es decir, $|A| = (a - 2)(a + 4)$.

Caso $a \neq 2$ y $a \neq -4$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3$, igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$Las dos primeras filas son iguales, así que, tanto en $A$ como en $A^*$, la segunda fila no aporta nada. Además$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 2 = 3 \neq 0,$$luego $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, dependientes de un parámetro).

Caso $a = -4$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -4 & -4 \\ 1 & -4 & 2 & -4 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$$\operatorname{rg} A = 2$, porque $|A| = 0$ y $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -6 \neq 0$. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 1 & -4 & -4 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-4 + 4) - 2\cdot(1 - 4) + (-4)\cdot(1 - 4) = 0 + 6 + 12 = 18 \neq 0$$Así que $\operatorname{rg} A^* = 3 \neq \operatorname{rg} A = 2$: sistema incompatible (no tiene solución).

b) Resolución para $a = 2$. Por a), el sistema es compatible indeterminado y equivale a las dos ecuaciones independientes$$\left\{\begin{array}{l} x + 2y + 2z = 2 \\ -x + y + z = 1 \end{array}\right.$$Sumándolas desaparece la $x$:$$3y + 3z = 3 \;\Longrightarrow\; y = 1 - z$$Llamando $z = \lambda$ y sustituyendo en la segunda: $x = y + z - 1 = (1 - \lambda) + \lambda - 1 = 0$.$$x = 0, \qquad y = 1 - \lambda, \qquad z = \lambda, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación (para cualquier $\lambda$): $0 + 2(1 - \lambda) + 2\lambda = 2$, que es la primera y la segunda ecuación (son iguales), y $-0 + (1 - \lambda) + \lambda = 1$ ✓.