Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Castilla-La Mancha · 2020 · Septiembre

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula razonadamente la matriz inversa de

A

.

b) [1,5 puntos] Calcula razonadamente la matriz

X

de la ecuación matricial

AX + I_3 = BC

, donde

I_3

es la matriz identidad.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = A^{-1}(BC - I_3) = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) primero miramos si

A

tiene inversa: basta con que su determinante no sea cero. Después la calculamos con la fórmula de los adjuntos,

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t,

y la comprobamos multiplicando

A\cdot A^{-1}

.

En b) despejamos

X

como si fuera una ecuación numérica, pero con cuidado con el orden:

X

está multiplicada por

A

a la izquierda, así que hay que multiplicar por

A^{-1}

también a la izquierda. Queda

X = A^{-1}(BC - I_3)

; solo falta calcular el producto

BC

(que es

3\times 3

, porque

B

3\times 2

C

2\times 3

), restarle la identidad y multiplicar.

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera columna (solo tiene un elemento no nulo):

|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} = -1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1\cdot(0 + 1) = -1 \neq 0,

así que

A

es regular y tiene inversa.

Adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1

A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 0

A_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1

\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Dividiendo entre

|A| = -1

A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación:

A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+0+1 & 0 & 0-1+1 \\ 2+0-2 & 1 & 2+0-2 \\ 0 & 0 & 0+1+0 \end{pmatrix} = I_3

y efectivamente sale la identidad ✓.

b) Despeje. Restamos

I_3

y multiplicamos por

A^{-1}

por la izquierda (existe por a)):

AX + I_3 = BC \;\Longrightarrow\; AX = BC - I_3 \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\,(BC - I_3)

Producto $BC$ (

3\times 2

por

2\times 3

3\times 3

BC = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4 & 1+0 & 1-4 \\ 0-2 & 0 & 0+2 \\ 1-2 & 1-0 & 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}

BC - I_3 = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Cálculo de $X$ :

X = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-2-2 & 2-1+2 & -6+2+4 \\ 1 & -1 & -2 \\ 4-1 & 1+1 & -3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}

Comprobación:

AX = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix},

y sumándole

I_3

sale exactamente

BC

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más caro es multiplicar por $A^{-1}$ por el lado equivocado: si $X$ está a la derecha de $A$ , la inversa va a la izquierda, $X = A^{-1}(BC - I_3)$ , y no $(BC - I_3)A^{-1}$ .

En la inversa, no olvides trasponer la adjunta ni dividir entre el determinante (aquí $-1$ , que cambia todos los signos). Comprobar $A\cdot A^{-1} = I$ lleva un minuto y salva el apartado b).