Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La pendiente de la recta tangente a la función $y = f(x)$ en el punto $(a, f(a))$ es $f'(a)$, que debe ser igual a la pendiente de la recta $y = 3x - 4$, que es $3$. Por tanto,$$f'(x) = 3x^2 \;\rightarrow\; f'(a) = 3a^2 = 3 \;\rightarrow\; a^2 = 1 \;\rightarrow\; a = \pm 1$$Así, el punto buscado es $(-1, f(-1)) = \boxed{(-1, -1)}$, ya que tiene que ser del tercer cuadrante.

La recta tangente en este punto es:$$y = f'(-1)(x + 1) + f(-1) \;\rightarrow\; \boxed{y = 3x + 2}$$

b) Para calcular el área comprendida entre $y = x^3$ e $y = 3x + 2$, tenemos que calcular sus puntos de corte:$$\begin{cases} y = x^3 \\ y = 3x + 2 \end{cases} \;\rightarrow\; x^3 = 3x + 2 \;\rightarrow\; x^3 - 3x - 2 = 0$$Por el método de Ruffini se descompone el polinomio en factores primos y tenemos:$$x^3 - 3x - 2 = (x + 1)^2(x - 2) = 0 \;\rightarrow\; x = -1 \ \text{y}\ x = 2$$Así, el área pedida se calcula con la integral definida:$$\int_{-1}^{2} (3x + 2 - x^3)\,dx = \left[3\,\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{2} = \boxed{\frac{27}{4}\,u^2}$$Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el planteamiento y obtener los valores posibles de $a$.
• 0,25 p. por escoger el punto correcto en el tercer cuadrante.
• 0,25 p. por la formulación de la recta tangente.
• 0,25 p. por la ecuación de la recta tangente.
• 0,25 p. por la gráfica de la función y de las dos rectas.

b)

• 0,25 p. por el planteamiento del área.
• 0,25 p. por calcular los puntos de intersección de las dos gráficas.
• 0,25 p. por plantear la integral definida.
• 0,25 p. por el cálculo de la primitiva.
• 0,25 p. por el cálculo y el resultado final.

Observación: cualquier subdivisión correcta del área pedida también se dará por buena.