Matrices

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La matriz incógnita $X$ debe ser cuadrada de orden $2$; en caso contrario, no se podría operar la ecuación dada. Despejamos $X$ de la igualdad dada:$$AX = I - 3X \;\rightarrow\; AX + 3X = I \;\rightarrow\; (A + 3I)X = I \;\rightarrow\; X = (A + 3I)^{-1}$$Así ya podemos calcular la matriz $X$:$$X = (A + 3I)^{-1} = \left(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}^{-1} =$$$$= \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}}$$b) De la igualdad $(A + 3I)X = I$ podemos deducir directamente que la matriz $X$ es invertible y que $A + 3I$ es la matriz inversa de la matriz $X$; así pues:$$X^{-1} = A + 3I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}}$$De forma alternativa, $\det(X) = -4 - (-3) = -1 \neq 0$ y, por tanto, $X$ es invertible y la matriz inversa será:$$X^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{t} = -\begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}}$$Pautas de corrección

a)

• 0,5 p. por la expresión matricial de $X$.
• 0,75 p. por el cálculo efectivo de la matriz $X$.

Observación: la resolución que consiste en plantear la matriz $X$ como 4 parámetros que hay que determinar y la correspondiente resolución del sistema de ecuaciones lineales $4\times 4$ también se dará por buena.

b)

• 0,5 p. por comprobar que la matriz $X$ es invertible.
• 0,75 p. por el cálculo efectivo de la matriz inversa de $X$.