Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

Planteamos el límite para calcular la pendiente de la asíntota oblicua y lo igualamos a $1$:$$\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax^2 + b}{x^2} = \lim_{x\to\infty}\left(a + \frac{b}{x^2}\right) = \boxed{a = 1}$$Así, la función será $f(x) = \dfrac{x^2 + b}{x}$.

Para que tenga un mínimo en el punto de abscisa $x = 2$, es necesario que la derivada se anule en este punto:$$f'(x) = \frac{2x^2 - (x^2 + b)}{x^2} = \frac{x^2 - b}{x^2} \;\rightarrow\; f'(2) = \frac{4 - b}{4} = 0 \;\rightarrow\; \boxed{b = 4}.$$Finalmente, confirmamos que se trata de un mínimo en $x = 2$, ya que:$$f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2} \begin{cases} > 0 & \text{si } x < -2 \;\rightarrow\; f \text{ creciente} \\ \leq 0 & \text{si } -2 \leq x \leq 2 \;\rightarrow\; f \text{ decreciente} \\ > 0 & \text{si } x > 2 \;\rightarrow\; f \text{ creciente} \end{cases}$$Y, por tanto, en el punto de abscisa $x = 2$ la función pasa de decreciente a creciente y, por tanto, presenta un mínimo.

Pautas de corrección

• 0,5 p. por el planteamiento del límite para la pendiente de la A.O.
• 0,5 p. por el cálculo del valor de $a$.
• 0,5 p. por la derivada.
• 0,5 p. por el valor de $b$.
• 0,5 p. por justificar que es un mínimo.