Matemáticas IIFácil2,5 pts

Rectas y planos

Cataluña · 2020 · Julio
Enunciado
a) (1,25 puntos) Calcule la ecuación general del plano π\pi que pasa por el punto (8,8,8)(8, 8, 8) y tiene como vectores directores u=(1,2,−3)\mathbf{u} = (1, 2, -3) y v=(−1,0,3)\mathbf{v} = (-1, 0, 3).

b) (1,25 puntos) Determine el valor del parámetro aa para que el punto (1,−5,a)(1, -5, a) pertenezca al plano π\pi y calcule la ecuación paramétrica de la recta que pasa por este punto y es perpendicular al plano π\pi.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) π: 3x+z=32\pi:\ 3x + z = 32.

b) a=29a = 29; la recta es x=1+3t, y=−5, z=29+tx = 1 + 3t,\ y = -5,\ z = 29 + t, con t∈Rt \in \mathbb{R}.
Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a) La ecuación general del plano es:∣x−81−1y−820z−8−33∣=0  →  6x+2z=64  →  3x+z=32.\begin{vmatrix} x-8 & 1 & -1 \\ y-8 & 2 & 0 \\ z-8 & -3 & 3 \end{vmatrix} = 0 \;\rightarrow\; 6x + 2z = 64 \;\rightarrow\; \boxed{3x + z = 32}.Observación: naturalmente, también se dará por buena la construcción de la ecuación del plano a partir del vector normal del plano calculado como el producto vectorial de los dos vectores directores, o equivalente.

b) Para que el punto (1,−5,a)(1, -5, a) sea del plano, debe satisfacer la ecuación; por tanto:3+a=32  →  a=293 + a = 32 \;\rightarrow\; \boxed{a = 29}Nos piden la recta que pasa por el punto (1,−5,29)(1, -5, 29) y tiene como vector director el vector normal al plano, que es (A,B,C)=(3,0,1)(A, B, C) = (3, 0, 1). Así, la ecuación paramétrica de la recta pedida es:{x=1+3ty=−5z=29+tcon t∈R\boxed{\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -5 \\ z = 29 + t \end{cases} \quad \text{con } t \in \mathbb{R}}Pautas de corrección

a)
  • 0,5 p. por el planteamiento.
  • 0,25 p. por el desarrollo.
  • 0,5 p. por la solución.
b)
  • 0,5 p. por calcular el valor de aa.
  • 0,25 p. por las coordenadas del punto.
  • 0,25 p. por el vector director.
  • 0,25 p. por la ecuación paramétrica de la recta.
Observación: aunque el apartado a) pueda estar mal resuelto, el apartado b) se puntuará correctamente aunque el plano inicial no sea correcto, siempre que el procedimiento y el cálculo sean los adecuados.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Rectas y planos
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera el plano π≡2x−y+2z−3=0\pi \equiv 2x - y + 2z - 3 = 0 y la recta r≡x−12=y1=z−2m−2r \equiv \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{m - 2}…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 4Rectas y planos
Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Considera la recta r≡{x=−2λy=−1+2λz=3+2λy el planoπ≡x−2y+z−3=0.r \equiv \begin{cases} x = -2\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases} \qquad\text{y el plano}\qquad \pi \equiv x - 2y + z - 3 = 0.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · JulioRectas y planos
Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera los puntos P(4,−2,3)P(4,-2,3) y Q(6,2,1)Q(6,2,1). a) [1 punto] Halla la ecuación…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 1Rectas y planos
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera los planos π1≡2x−y−z=7\pi_1 \equiv 2x - y - z = 7,   π2≡x−2y+z=3\;\pi_2 \equiv x - 2y + z = 3…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 2
Apuntes y todos los problemas de Geometría →