Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Escribimos el sistema en forma matricial:$$\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 4 & 19 \\ k & 2 & 8 & 28 \\ 5 & 1 & -k & 23+k \end{array}\right)$$Denotamos por $A$ y $A^*$ la matriz de los coeficientes y la ampliada, respectivamente.

El determinante de la matriz $A$ del sistema es:$$\det A = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 4 \\ k & 2 & 8 \\ 5 & 1 & -k \end{vmatrix} = k^2 - 6k - 40$$Si igualamos el determinante a $0$ obtenemos:$$k^2 - 6k - 40 = 0 \;\rightarrow\; k = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2} = \frac{6 \pm 14}{2} \;\Longrightarrow\; k = 10;\ k = -4$$Entonces, podemos considerar los tres casos siguientes:

• Si $k \neq 10, -4 \;\rightarrow\; \operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A^*) = 3 \;\rightarrow$ Sistema compatible determinado.
• Si $k = 10$, el sistema en forma matricial es:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 4 & 19 \\ 10 & 2 & 8 & 28 \\ 5 & 1 & -10 & 33 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 4 & 19 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & -14 & 14 \end{array}\right)$$$\operatorname{rango}(A) = 2$; $\operatorname{rango}(A^*) = 3 \;\rightarrow$ Sistema incompatible.

Observación: el rango se puede justificar con menores no nulos o bien se puede concluir directamente la incompatibilidad a partir de la segunda ecuación.

• Si $k = -4$, el sistema en forma matricial es:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 4 & 19 \\ -4 & 2 & 8 & 28 \\ 5 & 1 & 4 & 19 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 4 & 19 \\ 0 & 7 & 28 & 108 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$$\operatorname{rango}(A) = 2 = \operatorname{rango}(A^*) < \text{núm. incógnitas} = 3 \;\rightarrow$ Sistema compatible indeterminado con 1 ($=3-2$) grado de libertad (las soluciones dependen de un parámetro libre).

b) Para $k = 0$ estamos en el primer caso y sabemos que se trata de un sistema compatible determinado: tiene solución única.

El sistema queda:$$\begin{cases} 5x + y + 4z = 19 \\ 2y + 8z = 28 \\ 5x + y = 23 \end{cases}$$Resolviendo el sistema por Gauss, o bien por Cramer, obtenemos la solución$$\begin{cases} x = 1 \\ y = 18 \\ z = -1 \end{cases}$$Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por la presentación matricial del sistema.
• 0,25 p. por los primeros pasos para llegar a los valores críticos para la discusión.
• 0,75 p. por la discusión de los tres casos (0,25 p. por cada caso).

b)

• 0,25 p. por observar que tiene solución única.
• 0,25 p. por la concreción del sistema que hay que resolver.
• 0,75 p. por la solución (0,25 p. por cada incógnita).