Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La recta tangente a $y = f(x)$ en el punto de abscisa $x = a$ es$$y = f'(a)(x - a) + f(a).$$Como $f'(x) = \dfrac{-2}{x^3}$, la ecuación de la recta tangente es$$y = \frac{-2}{a^3}(x - a) + \frac{1}{a^2} + 1 \;\rightarrow\; y = \frac{-2}{a^3}x + \frac{a^2+3}{a^2}.$$Los vértices del triángulo serán el origen de coordenadas y los cortes de la recta tangente con los ejes, que son:

Corte con $x = 0 \;\rightarrow\; y = \dfrac{a^2+3}{a^2} \;\rightarrow\; \left(0, \dfrac{a^2+3}{a^2}\right)$

Corte con $y = 0 \;\rightarrow\; 0 = \dfrac{-2}{a^3}x + \dfrac{a^2+3}{a^2} \;\rightarrow\; x = \dfrac{a(a^2+3)}{2} \;\rightarrow\; \left(\dfrac{a(a^2+3)}{2}, 0\right)$

Así, el área del triángulo será$$g(a) = \frac{1}{2}\,\frac{a^2+3}{a^2}\,\frac{a(a^2+3)}{2} = \boxed{\frac{(a^2+3)^2}{4a}}$$b) Calculamos los puntos singulares de la función $g(a)$ igualando su derivada a cero:$$g'(a) = \frac{2(a^2+3)\cdot 2a\cdot 4a - (a^2+3)^2\cdot 4}{(4a)^2} = \frac{4(a^2+3)(\dots)}{16a^2} = \dots = \frac{3(a^2+3)(a^2-1)}{4a^2} = 0,$$$a^2 = 1 \rightarrow a = \pm 1$. Pero tomamos solo $a = 1$, ya que el punto $P$ está en el primer cuadrante. Así, el punto $P$ tiene coordenadas $(1, f(1)) = \boxed{(1, 2)}$.

Se comprueba que el área es mínima porque el signo de la función $g'$ (que es el de la parte $(a^2 - 1)$, porque el resto de términos son positivos) cambia en $a = 1$: a la izquierda (por ejemplo, $x = 0{,}9$) es negativo (y, por tanto, la función $g$ es decreciente); a la derecha (por ejemplo, $x = 1{,}1$) es positivo (y, por tanto, la función $g$ es creciente).

El valor del área mínima es $g(1) = \dfrac{(1+3)^2}{4} = \boxed{4\ u^2}$

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el planteamiento.
• 0,25 p. por la expresión de la recta tangente.
• 0,25 p. por los puntos de corte con el eje OX.
• 0,25 p. por los puntos de corte con el eje OY.
• 0,25 p. por la función área.

b)

• 0,5 p. por la derivada primera.
• 0,25 p. por el valor mínimo y el punto $P$.
• 0,25 p. por comprobar que es mínimo relativo.
• 0,25 p. por el valor del área.