Áreas, volúmenes y distancias

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Determinamos un vector director de cada recta para saber si son vectores linealmente dependientes (coincidentes o paralelas) o linealmente independientes (secantes o que se cruzan).

$v_r = (2, 1, 1)$ y $v_s = (1, -1, 1)$.

Como no son proporcionales, son vectores linealmente independientes. Por tanto, las dos rectas o bien son secantes (se cortan en un punto común) o bien se cruzan.

Verificamos si son secantes buscando la intersección de $r$ y $s$. Para ello, sustituimos un punto genérico de la recta $s$ en la recta $r$:$$\frac{\mu - 3}{2} = -\mu = \mu - 1$$De la primera igualdad: $\mu - 3 = -2\mu \Rightarrow \mu = 1$

De la segunda igualdad: $-\mu = \mu - 1 \Rightarrow \mu = \dfrac{1}{2}$

Como se obtienen valores diferentes para el parámetro $\mu$, no hay punto de intersección y, por tanto, $\boxed{\text{las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$.

Observación: cualquier otra manera equivalente y correcta se dará también por respuesta correcta.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por los vectores directores de las rectas.
• 0,25 p. por justificar el no paralelismo.
• 0,25 p. por el planteamiento de la posición relativa.
• 0,25 p. por los cálculos o pasos intermedios.
• 0,25 p. por la justificación de que las rectas se cruzan.

b)

En este caso, en que las rectas se cruzan, la distancia entre ellas la calcularemos como la distancia de un punto de una recta al plano paralelo que contiene la otra recta, es decir: $d(s, r) = d(P_s, \pi)$, donde $\pi$ es el plano que contiene la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$.

Los vectores directores del plano serán $v_r = (2, 1, 1)$ y $v_s = (1, -1, 1)$.

Su producto vectorial nos da el vector normal al plano:$$n = v_r \times v_s = \begin{vmatrix} i & 2 & 1 \\ j & 1 & -1 \\ k & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2, -1, -3) = (A, B, C)$$Ahora, con un punto de la recta $r$, $P_r = (3, 0, 1)$, construimos la ecuación del plano:$$\pi\colon 2(x - 3) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Rightarrow \pi\colon 2x - y - 3z - 3 = 0$$La distancia será:$$d(s, r) = d(P_s, \pi) = d\big((0, 0, 0), \pi\big) = \frac{|2\cdot 0 - 0 - 3\cdot 0 - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}} = \boxed{\frac{3\sqrt{14}}{14}\ u}$$Observación: cualquier otra manera equivalente y correcta se dará también por respuesta correcta.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por el planteamiento de cómo calcular la distancia.
• 0,25 p. por los elementos del plano que hay que calcular.
• 0,25 p. por el cálculo del plano paralelo.
• 0,25 p. por la aplicación de la fórmula de la distancia de un punto a un plano.
• 0,25 p. por el cálculo final.