Matemáticas IIMedio2,5 pts

Optimización

Cataluña · 2020 · Septiembre
Enunciado
Una empresa está trabajando en el diseño de unas cápsulas de café. La empresa ha construido la sección transversal de las cápsulas inscribiéndola en una semicircunferencia de radio 1, trazando a continuación una cuerda CDCD paralela al diámetro ABAB e incorporando el punto EE en el punto medio del arco CDCD. De esta manera queda trazado el pentágono ACEDBACEDB, tal como se muestra en la figura.
Semicircunferencia de diámetro AB con la cuerda CD paralela a AB a una altura h; E es el punto medio del arco CD; el pentágono ACEDB está inscrito, y x es la mitad de la cuerda CD
Semicircunferencia de diámetro AB con la cuerda CD paralela a AB a una altura h; E es el punto medio del arco CD; el pentágono ACEDB está inscrito, y x es la mitad de la cuerda CD
a) (1,25 puntos) Exprese en función de xx y hh el área del pentágono ACEDBACEDB.

b) (1,25 puntos) ¿A qué distancia de ABAB (indicada en la figura por hh) se debe situar la cuerda CDCD para que el área del pentágono ACEDBACEDB sea máxima?
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Resultado
a) A(h,x)=h+xA(h, x) = h + x, con x=1−h2x = \sqrt{1 - h^2}.

b) El área A(h)=h+1−h2A(h) = h + \sqrt{1 - h^2} es máxima para h=22h = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a)

Si llamamos xx a la mitad de la longitud de la cuerda CDCD, entonces tenemos quex=12−h2x = \sqrt{1^2 - h^2}
La misma figura con el radio 1 trazado del centro de AB al punto D, la altura h desde AB hasta la cuerda CD y la distancia 1 − h desde la cuerda hasta E
La misma figura con el radio 1 trazado del centro de AB al punto D, la altura h desde AB hasta la cuerda CD y la distancia 1 − h desde la cuerda hasta E
El área del pentágono es el área del trapecio ACDBACDB más el área del triángulo CEDCED.A(h,x)=(2x+2)⋅h2+2x⋅(1−h)2=(x+1)⋅h+x(1−h) =h+x\boxed{A(h, x)} = \frac{(2x + 2)\cdot h}{2} + \frac{2x\cdot(1 - h)}{2} = (x + 1)\cdot h + x(1 - h)\ \boxed{= h + x}Pautas de corrección:
  • 0,25 p. por la representación gráfica.
  • 0,25 p. por la relación entre xx y hh.
  • 0,25 p. por la expresión de la parte trapezoidal.
  • 0,25 p. por la expresión de la parte triangular.
  • 0,25 p. por la expresión final de la función área en dos parámetros (xx y hh).
b)

Formule el área en términos solo de hh.

Como x=12−h2x = \sqrt{1^2 - h^2}, tenemos que A(h)=h+1−h2A(h) = h + \sqrt{1 - h^2}.

Ahora hay que calcular y resolver A′(h)=0A'(h) = 0.A′(h)=1+−2h21−h2=1−h1−h2=0.A'(h) = 1 + \frac{-2h}{2\sqrt{1 - h^2}} = 1 - \frac{h}{\sqrt{1 - h^2}} = 0.Tenemos que 1=h1−h21 = \dfrac{h}{\sqrt{1 - h^2}}; 1−h2=h\sqrt{1 - h^2} = h, h2=1/2h^2 = 1/2 y, por tanto, h=22h = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (consideramos solo la solución positiva por el contexto del problema).

Mirando el signo de la derivada A′(h)A'(h) en el entorno del punto singular h=22h = \dfrac{\sqrt{2}}{2} podemos clasificar el punto singular.

Como A′(0,5)=0,4226>0A'(0{,}5) = 0{,}4226 > 0 y A′(0.8)=−0.333<0A'(0.8) = -0.333 < 0, la función área crece antes y decrece después del punto singular, es decir, que hay un máximo en h=22h = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Por tanto, la cuerda se debe situar a distancia 22 para que el aˊrea sea maˊxima.\boxed{\text{Por tanto, la cuerda se debe situar a distancia } \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{ para que el área sea máxima.}}

Pautas de corrección:
  • 0,25 p. por la expresión de la función área que hay que maximizar, con un solo parámetro (hh).
  • 0,25 p. por la función derivada.
  • 0,25 p. por el punto singular.
  • 0,5 p. por la comprobación de máximo.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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