Matrices

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Estudiaremos el rango de la matriz $A$ a partir de los valores que hacen que el rango sea máximo, $3$ en este caso, que es cuando no se anula el determinante de la matriz.$$|A| = \begin{vmatrix} a & -3 & 0 \\ 4 & a - 7 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -a^2 + 7a - 3 + a - 12 = -a^2 + 8a - 15$$$$|A| = -a^2 + 8a - 15 = 0 \rightarrow a = 3\ \text{ y }\ a = 5$$

• Cuando $a \neq 3$ y $a \neq 5 \rightarrow |A| \neq 0 \rightarrow \operatorname{rango}(A) = 3$.
• Cuando $a = 3$, $\operatorname{rango}(A) < 3$, ya que $\det(A) = 0$.

$A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 0 \\ 4 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$. Se ve claramente que dos filas cualesquiera de esta matriz son independientes, porque no son proporcionales; por tanto, $\operatorname{rango}(A) = 2$.

Análogamente, cualquier menor de orden 2 no nulo también justifica que $\operatorname{rango}(A) = 2$.

• Cuando $a = 5$, $\operatorname{rango}(A) < 3$, ya que $\det(A) = 0$.

$A = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 0 \\ 4 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$. De manera análoga al caso anterior, $\operatorname{rango}(A) = 2$.

Como antes, cualquier menor de orden 2 no nulo también justifica que $\operatorname{rango}(A) = 2$.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por el determinante.
• 0,25 p. por los valores que hay que discutir.
• 0,75 p. por la discusión de los 3 casos (0,25 p. cada caso).

b)

Para el caso $a = 4$ tenemos $A = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ y, por lo que hemos visto en el apartado anterior, la matriz $A$ tiene rango 3; por tanto, es invertible, es decir, existe $A^{-1}$.

Observación: la invertibilidad de la matriz $A$ también se puede demostrar procediendo al cálculo de la matriz inversa y viendo que se puede llevar a cabo.

Para comprobar que la matriz $A^2$ es la matriz inversa $A^{-1}$, es suficiente comprobar que $A \cdot A^2 = I$.$$A^2 = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & -3 \\ 5 & -4 & -4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$$$A \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -3 & -3 \\ 5 & -4 & -4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$Que es lo que queríamos ver.

Pautas de corrección:

• 0,5 p. por la justificación de que $A$ es invertible.
• 0,25 p. por el planteamiento de la comprobación.
• 0,25 p. por el cálculo de la matriz $A^2$.
• 0,25 p. por la comprobación del producto.