Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

La ecuación de la recta tangente en $x = 0$ es $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$.

Mirando la gráfica de $f'(x)$ podemos ver que $f'(0) = -4$ y el enunciado nos indica que $f(0) = 1$, ya que $f(x)$ pasa por el punto $(0, 1)$. Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$ es $y = -4(x - 0) + 1$ o, lo que es lo mismo, $\boxed{y = -4x + 1}$.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la fórmula de la recta tangente.
• 0,25 p. por la identificación de la pendiente.
• 0,25 p. por la identificación de la ordenada.
• 0,25 p. por la sustitución en la expresión de la recta tangente.
• 0,25 p. por la expresión final de la recta tangente.

b)

Los puntos singulares son aquellos donde se anula la derivada; por tanto, solo hay que ver los puntos de corte de $f'(x)$ con el eje de abscisas, es decir, las $x$ que cumplen que $f'(x) = 0$.

Observando la gráfica de $f'(x)$ observamos que $f'(-2) = 0$, $f'(-1) = 0$ y $f'(1) = 0$. Así tenemos que $f(x)$ presenta puntos singulares en $\boxed{x = -2,\ x = -1\ \text{y}\ x = 1}$.

Ahora solo hay que clasificarlos.

Observamos que en $x = -2$ la recta tangente a la función derivada es horizontal, es decir, que $f''(-2) = 0$ y, por tanto, $x = -2$ es una abscisa candidata a presentar una inflexión. Dado que $f'(x) > 0$ en el intervalo $(-\infty, -2)$ y también en $(-2, -1)$, esto implica que $f(x)$ es creciente en estos intervalos. Por otra parte, antes de $-2$ la función derivada es decreciente, es decir, con derivada negativa (o sea, $f''(x) < 0$), y después de $-2$ la función derivada es creciente, es decir, con derivada positiva (o sea, $f''(x) > 0$). Esto indica que en el punto $x = -2$ hay efectivamente un cambio de concavidad y, por tanto, en $x = -2$ la función $f(x)$ presenta un punto de inflexión de tangente horizontal.

Dado que $f'(x) > 0$ en el intervalo $(-2, -1)$ y $f'(x) < 0$ en $(-1, 1)$, nos indica que $f(x)$ es creciente en el intervalo $(-2, -1)$ y es decreciente en $(-1, 1)$, motivo por el cual podemos concluir que en $x = -1$ la función $f(x)$ presenta un máximo relativo.

Finalmente, en el punto de abscisa $x = 1$, $f(x)$ presenta un mínimo relativo, ya que $f(x)$ es decreciente en el intervalo $(-1, 1)$, puesto que $f'(x) < 0$ en este intervalo, y $f(x)$ es creciente en $(1, +\infty)$, puesto que $f'(x) > 0$ en este intervalo.

• $x = -2$: punto de inflexión con recta tangente horizontal.
• $x = -1$: máximo relativo.
• $x = 1$: mínimo relativo.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la identificación de las tres abscisas.
• 0,5 p. por la clasificación justificada de la inflexión.
• 0,25 p. por la clasificación justificada del máximo relativo.
• 0,25 p. por la clasificación justificada del mínimo relativo.