Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

La ecuación paramétrica de la recta $r$ es$$(x, y, z) = (0, 3, 1) + \lambda(1, -1, 0) = (\lambda, 3 - \lambda, 1).$$Para encontrar el punto de contacto hay que encontrar la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$:$$\begin{aligned} \lambda - 2\cdot(3 - \lambda) + 1 &= 1 \\ \lambda - 6 + 2\lambda + 1 &= 1 \end{aligned}$$de donde deducimos que $\lambda = 2$. Por tanto, el punto de contacto buscado es $\boxed{B = (2, 1, 1)}$.

Finalmente, para calcular la distancia pedida aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos, los puntos $A = (0, 3, 1)$ y $B = (2, 1, 1)$, y obtenemos$$\operatorname{dist}(A, B) = \sqrt{2^2 + (1 - 3)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{8} = \boxed{2\sqrt{2}\ u}$$Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la ecuación paramétrica (o equivalente) de la recta $r$.
• 0,25 p. por el punto intersección de la recta y el plano.
• 0,25 p. por el planteamiento de la distancia.
• 0,25 p. por el vector entre los dos puntos.
• 0,25 p. por la distancia final.

b)

El plano buscado contiene como vectores directores el vector $v = (1, -1, 0)$ (vector director de la recta $r$) y un vector normal al plano $\pi$, $n = (1, -2, 1)$. Por tanto, para obtener un vector normal al plano buscado calculamos$$n \times v = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ i & j & k \end{vmatrix} = (1, 1, 1)$$Por tanto, el plano buscado tiene ecuación de la forma $x + y + z = k$, donde $k$ es un parámetro real. Como el punto $A$ pertenece al plano buscado, tenemos $0 + 3 + 1 = k$ y, por tanto, la ecuación pedida del plano es $\boxed{x + y + z = 4}$.

Observación: cualquier otra manera equivalente y correcta se dará también por respuesta correcta.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por los elementos del plano.
• 0,25 p. por el vector normal del plano.
• 0,25 p. por el planteamiento de la ecuación del plano.
• 0,25 p. por el cálculo del valor del término independiente.
• 0,25 p. por la ecuación general del plano.