Sean las funciones f(x) = x^3 y g(x) = a \cdot x^2, donde a es un número real positivo. a) (1,25 puntos) Halle, en función del parámetro a, los puntos de corte entre las dos curvas y = f(x) e y = g(x) y haga un esbozo de la región limitada por las dos gráficas. b) (1,25 puntos) Calcule el valor de a para que el área comprendida entre y = f(x) e y = g(x) sea \dfrac{27}{4}\ u^2.

a) Las curvas se cortan en (0, 0) y (a, a^3); entre x = 0 y x = a la parábola y = ax^2 queda por encima de y = x^3. b) A = \dfrac{a^4}{12} = \dfrac{27}{4} \Rightarrow a = 3.

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Integrales

Cataluña · 2020 · Septiembre

Enunciado

Sean las funciones

f(x) = x^3

g(x) = a \cdot x^2

, donde

a

es un número real positivo.

a) (1,25 puntos) Halle, en función del parámetro

a

, los puntos de corte entre las dos curvas

y = f(x)

y = g(x)

y haga un esbozo de la región limitada por las dos gráficas.

b) (1,25 puntos) Calcule el valor de

a

para que el área comprendida entre

y = f(x)

y = g(x)

sea

\dfrac{27}{4}\ u^2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Las curvas se cortan en

(0, 0)

(a, a^3)

; entre

x = 0

x = a

la parábola

y = ax^2

queda por encima de

y = x^3

.

b)

A = \dfrac{a^4}{12} = \dfrac{27}{4} \Rightarrow a = 3

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

Esbozo de la parábola y = ax² y de la cúbica y = x³, que se cortan en el origen (0, 0) y en el punto de abscisa a; la región sombreada entre las dos curvas, de 0 a a, queda con la parábola por encima

Igualamos las dos funciones y resolvemos:

\begin{aligned} f(x) &= g(x) \\ x^3 &= ax^2 \\ x^3 - ax^2 &= 0 \\ x^2(x - a) &= 0 \\ x = 0 &\ \text{ y }\ x = a \end{aligned}

Los puntos de corte son

\boxed{(0, 0)\ \text{y}\ (a, a^3)}

Pautas de corrección:

0,25 p. por el planteamiento de la igualdad.
0,25 p. por la solución de la ecuación (los valores de $a$ ).
0,25 p. por el punto $(0, 0)$ .
0,25 p. por el punto $(a, a^3)$ .
0,25 p. por el esbozo.

b)

El área entre las dos funciones se calculará con la integral definida de la diferencia de las dos funciones:

A = \int_0^a \big(g(x) - f(x)\big)\,dx = \int_0^a (ax^2 - x^3)\,dx = \left(\frac{ax^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^a = \frac{a^4}{3} - \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{12}

\frac{a^4}{12} = \frac{27}{4} \Rightarrow a^4 = 81 \Rightarrow a = \pm 3.

Hay que descartar el valor

a = -3

, ya que

a

, nos dice el enunciado, es positivo.

\boxed{\text{Por tanto, para } a = 3 \text{ el área entre las dos funciones es } \dfrac{27}{4}\ u^2.}

Pautas de corrección:

0,25 p. por el planteamiento de la integral definida (en coherencia con el esbozo hecho en el apartado anterior).
0,25 p. por el cálculo de la primitiva.
0,25 p. por el cálculo final de la integral.
0,25 p. por el planteamiento de la igualdad.
0,25 p. por la resolución final.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

¿Has terminado el problema?

¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.

Sigue practicando

Integrales

Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera la función