Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Junio · Opción B

También trata: Derivadas y aplicaciones
Comunitat Valenciana · 2019 · Junio · Opción B
Enunciado
Las coordenadas iniciales de los móviles A y B son (0,0)(0, 0) y (250,0)(250, 0), respectivamente, siendo 1 km la distancia del origen de coordenadas a cada uno de los puntos (1,0)(1, 0) y (0,1)(0, 1).

El móvil A se desplaza sobre el eje OY desde su posición inicial hasta el punto (0,3752)\left(0, \frac{375}{2}\right) con velocidad de 30 km/h y, simultáneamente, el móvil B se desplaza sobre el eje OX desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas con velocidad de 40 km/h.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La distancia f(t)f(t) entre los móviles A y B durante el desplazamiento, en función del tiempo tt en horas desde que comenzaron a desplazarse. (2 puntos)

b) El tiempo TT que tardan los móviles en desplazarse desde su posición inicial a su posición final, y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff a lo largo del trayecto. (4 puntos)

c) Los valores de tt para los que la distancia de los móviles es máxima y mínima durante su desplazamiento y dichas distancias máxima y mínima. (4 puntos)
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Resultado
a) f(t)=(250−40t)2+900t2=50t2−8t+25f(t) = \sqrt{(250 - 40t)^2 + 900t^2} = 50\sqrt{t^2 - 8t + 25} km, con tt en horas.

b) T=254=6,25T = \frac{25}{4} = 6{,}25 h. ff decrece en [0,4)[0, 4) y crece en (4,254]\left(4, \frac{25}{4}\right].

c) Distancia máxima: 250 km, en t=0t = 0. Distancia mínima: 150 km, en t=4t = 4 h.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Las unidades de los ejes son kilómetros. Cada móvil va en línea recta a velocidad constante, así que su posición es «punto de partida + velocidad · tiempo» (B hacia la izquierda, con signo menos). Los dos móviles y el origen forman un triángulo rectángulo, y la distancia entre ellos es la hipotenusa: Pitágoras.

Luego es un problema de extremos absolutos en un intervalo cerrado [0,T][0, T]: se estudia el signo de f′f' y se comparan los valores en el punto crítico y en los extremos del intervalo. Un truco que simplifica: ff y f2f^2 crecen y decrecen a la vez (la raíz es creciente), así que basta derivar lo de dentro.
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Desarrollo

a) Posiciones en el instante tt (en horas).A(t)=(0, 30t),B(t)=(250−40t, 0)A(t) = (0,\ 30t), \qquad B(t) = (250 - 40t,\ 0)Distancia. Por Pitágoras, con catetos 250−40t250 - 40t y 30t30t:f(t)=(250−40t)2+(30t)2=(250−40t)2+900t2f(t) = \sqrt{(250 - 40t)^2 + (30t)^2} = \sqrt{(250 - 40t)^2 + 900t^2}Simplificación. Desarrollando:f(t)=2500t2−20 000t+62 500=50t2−8t+25f(t) = \sqrt{2500t^2 - 20\,000t + 62\,500} = 50\sqrt{t^2 - 8t + 25}b) Tiempo del trayecto.
  • A recorre 3752=187,5\frac{375}{2} = 187{,}5 km a 30 km/h: 187,530=254\dfrac{187{,}5}{30} = \dfrac{25}{4} h.
  • B recorre 250 km a 40 km/h: 25040=254\dfrac{250}{40} = \dfrac{25}{4} h.
Los dos llegan a la vez: T=254=6,25T = \dfrac{25}{4} = 6{,}25 h, y ff está definida en [0,254]\left[0, \frac{25}{4}\right].

Derivada.f′(t)=50⋅2t−82t2−8t+25=50 (t−4)t2−8t+25f'(t) = 50\cdot\frac{2t - 8}{2\sqrt{t^2 - 8t + 25}} = \frac{50\,(t - 4)}{\sqrt{t^2 - 8t + 25}}El radicando no se anula nunca (t2−8t+25=(t−4)2+9>0t^2 - 8t + 25 = (t - 4)^2 + 9 > 0), así que el signo de f′f' es el de t−4t - 4.

Monotonía.
  • En [0,4)[0, 4): f′<0f' < 0, ff decrece (los móviles se acercan).
  • En (4,254]\left(4, \frac{25}{4}\right]: f′>0f' > 0, ff crece (se alejan).
c) Mínimo. Por b), en t=4t = 4 la función pasa de decrecer a crecer: es el mínimo absoluto en el intervalo.f(4)=5016−32+25=50⋅3=150 kmf(4) = 50\sqrt{16 - 32 + 25} = 50\cdot 3 = 150 \ \text{km}Máximo. Como ff decrece y luego crece, el máximo está en uno de los extremos del intervalo:f(0)=5025=250 km,f ⁣(254)=5062516−50+25=5022516=50⋅154=187,5 kmf(0) = 50\sqrt{25} = 250 \ \text{km}, \qquad f\!\left(\tfrac{25}{4}\right) = 50\sqrt{\tfrac{625}{16} - 50 + 25} = 50\sqrt{\tfrac{225}{16}} = 50\cdot\frac{15}{4} = 187{,}5 \ \text{km}El mayor es f(0)=250f(0) = 250 km.

Comprobación. En t=4t = 4, A está en (0,120)(0, 120) y B en (90,0)(90, 0): 902+1202=150\sqrt{90^2 + 120^2} = 150 ✓. Al final, A en (0;187,5)(0; 187{,}5) y B en el origen: distancia 187,5187{,}5 ✓.
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Consejo

El máximo no sale de f′=0f' = 0: está en un extremo del intervalo. En un problema con tiempo acotado, compara siempre el valor en el punto crítico con los de t=0t = 0 y t=Tt = T.

Antes de derivar, saca factor común dentro de la raíz (2500=5022500 = 50^2): las cuentas se quedan en t2−8t+25t^2 - 8t + 25 y es mucho más difícil equivocarse.
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