Sea \pi el plano de ecuación 9x + 12y + 20z = 180. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a \pi que distan 4 unidades de \pi. (4 puntos) b) Los puntos A, B y C intersección del plano \pi con los ejes OX, OY y OZ y el ángulo que forman los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC}. (4 puntos) c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen O de coordenadas y los puntos A, B y C. (2 puntos)

Matemáticas IIFácil3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Junio · Opción B

También trata: Vectores y ángulos

Enunciado

Sea

\pi

el plano de ecuación

9x + 12y + 20z = 180

.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a

\pi

que distan 4 unidades de

\pi

. (4 puntos)

b) Los puntos

A

B

C

intersección del plano

\pi

con los ejes OX, OY y OZ y el ángulo que forman los vectores

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

. (4 puntos)

c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen O de coordenadas y los puntos

A

B

C

. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

9x + 12y + 20z = 80

9x + 12y + 20z = 280

.

b)

A = (20, 0, 0)

B = (0, 15, 0)

C = (0, 0, 9)

;

\cos\theta = \frac{16}{\sqrt{481}} \approx 0{,}7295

, así que

\theta \approx 43{,}15^\circ

(

\approx 43^\circ\,9'

, unos

0{,}753

rad).

c)

V = 450 \ \text{u}^3

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un plano paralelo a

\pi

tiene el mismo vector normal, así que solo cambia el término independiente:

9x + 12y + 20z = D

. La distancia entre dos planos paralelos se calcula con la fórmula de la distancia de un punto al plano, y como lleva un valor absoluto, salen dos soluciones (un plano a cada lado).

Los cortes con los ejes se obtienen anulando las otras dos coordenadas; el ángulo, con el producto escalar. Y el tetraedro

OABC

tiene sus tres aristas desde

O

sobre los ejes: es la sexta parte del producto mixto, que aquí es un determinante diagonal.

Desarrollo

a) Módulo del normal.

\vec n = (9, 12, 20)

|\vec n| = \sqrt{81 + 144 + 400} = \sqrt{625} = 25

Distancia entre planos paralelos. Para

\pi': 9x + 12y + 20z = D

, tomando un punto de

\pi

, por ejemplo

(20, 0, 0)

d(\pi, \pi') = \frac{|9\cdot 20 - D|}{25} = \frac{|180 - D|}{25} = 4 \;\Longrightarrow\; |180 - D| = 100

Dos soluciones.

180 - D = 100 \Rightarrow D = 80

, o

180 - D = -100 \Rightarrow D = 280

\pi_1: 9x + 12y + 20z = 80, \qquad \pi_2: 9x + 12y + 20z = 280

b) Cortes con los ejes.

OX ( $y = z = 0$ ): $9x = 180 \Rightarrow A = (20, 0, 0)$ .
OY ( $x = z = 0$ ): $12y = 180 \Rightarrow B = (0, 15, 0)$ .
OZ ( $x = y = 0$ ): $20z = 180 \Rightarrow C = (0, 0, 9)$ .

Vectores.

\overrightarrow{AB} = (-20, 15, 0), \qquad \overrightarrow{AC} = (-20, 0, 9)

Ángulo.

\cos\theta = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|} = \frac{400 + 0 + 0}{\sqrt{625}\cdot\sqrt{481}} = \frac{400}{25\sqrt{481}} = \frac{16}{\sqrt{481}} \approx 0{,}7295

\theta = \arccos\frac{16}{\sqrt{481}} \approx 43{,}15^\circ \approx 43^\circ\, 9'\, 9'' \approx 0{,}7532 \ \text{rad}

c) Producto mixto. Con

\overrightarrow{OA} = (20, 0, 0)

\overrightarrow{OB} = (0, 15, 0)

\overrightarrow{OC} = (0, 0, 9)

\left[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\right] = \begin{vmatrix} 20 & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{vmatrix} = 20\cdot 15\cdot 9 = 2700

Volumen.

V = \frac16\,|2700| = 450 \ \text{u}^3

(Es lo mismo que

\frac13\cdot\text{base}\cdot\text{altura}

con la base

OAB

, un triángulo rectángulo de área

\frac{20\cdot 15}{2} = 150

, y la altura

\overline{OC} = 9

\frac13\cdot 150\cdot 9 = 450

✓.)

Consejo

En a) hay dos planos: el valor absoluto de la fórmula de la distancia da uno a cada lado de $\pi$ . Si solo das uno, te quitan la mitad.

Y en un tetraedro con tres aristas sobre los ejes, el producto mixto es el producto de las tres longitudes: no olvides dividir entre 6.