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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Se da el sistema

\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 3x + 4y + 5z = 5 \\ 7x + 9y + 11z = \alpha \end{cases}

donde

\alpha

es un parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de

\alpha

para los que el sistema es compatible y los valores de

\alpha

para los que el sistema es incompatible. (4 puntos)

b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible. (4 puntos)

c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente 11 por cualquier otro número diferente. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Compatible (indeterminado) si

\alpha = 14

; incompatible si

\alpha \neq 14

.

b) Para

\alpha = 14

(x, y, z) = (11 + t,\ -7 - 2t,\ t)

, con

t \in \mathbb{R}

.

c) Con cualquier coeficiente

k \neq 11

en lugar del 11,

|M| = k - 11 \neq 0

y el sistema es compatible determinado para todo

\alpha

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí el parámetro está en los términos independientes, no en los coeficientes. Así que la matriz de coeficientes

M

no depende de

\alpha

: se calcula su rango una vez y luego se mira cuándo la ampliada

M^*

tiene el mismo rango (Rouché-Frobenius).

Si $|M| = 0$ , el sistema nunca es compatible determinado; según $\alpha$ será compatible indeterminado o incompatible.
En c) el 11 pasa a ser un número $k \neq 11$ : ahora el parámetro está en $M$ , y basta ver que $|M|$ deja de anularse.

Desarrollo

a) Matrices del sistema.

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 7 & 9 & 11 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & 11 & \alpha \end{array}\right)

Rango de $M$ .

|M| = 1\cdot(44 - 45) - 1\cdot(33 - 35) + 1\cdot(27 - 28) = -1 + 2 - 1 = 0

y el menor

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \neq 0

, así que

\operatorname{rg}(M) = 2

para todo

\alpha

.

Rango de $M^*$ . Orlamos ese menor con la columna de los términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 7 & 9 & \alpha \end{vmatrix} = 1\cdot(4\alpha - 45) - 1\cdot(3\alpha - 35) + 4\cdot(27 - 28) = \alpha - 14

(La otra orla, con la tercera columna en lugar de la segunda, da

2(\alpha - 14)

: se anula para el mismo valor.)

Discusión.

Si $\alpha = 14$ : $\operatorname{rg}(M) = \operatorname{rg}(M^*) = 2 < 3$ → compatible indeterminado.
Si $\alpha \neq 14$ : $\operatorname{rg}(M) = 2 \neq 3 = \operatorname{rg}(M^*)$ → incompatible.

b) Sistema para $\alpha = 14$ . La tercera ecuación sobra (es la primera más el doble de la segunda:

7 = 1 + 6

9 = 1 + 8

11 = 1 + 10

14 = 4 + 10

). Queda

\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 3x + 4y + 5z = 5 \end{cases}

Resolución. Con

z = t

x + y = 4 - t

3x + 4y = 5 - 5t

. Restando el triple de la primera a la segunda:

y = 5 - 5t - 3(4 - t) = -7 - 2t, \qquad x = 4 - t - y = 11 + t

Comprobación. Con

t = 0

(11, -7, 0)

11 - 7 = 4

✓,

33 - 28 = 5

✓,

77 - 63 = 14

✓.

c) El coeficiente 11 cambia por $k \neq 11$ .

|M_k| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 7 & 9 & k \end{vmatrix} = 1\cdot(4k - 45) - 1\cdot(3k - 35) + 1\cdot(27 - 28) = k - 11

Discusión. Si

k \neq 11

|M_k| \neq 0

\operatorname{rg}(M_k) = \operatorname{rg}(M_k^*) = 3

= número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado para cualquier valor de

\alpha

Consejo

Cuando el parámetro solo está en los términos independientes, no pierdas tiempo discutiendo $|M|$ en función de él: $M$ no cambia. Lo que decide es el rango de la ampliada.

En b) di qué ecuación eliminas y por qué (aquí $E_3 = E_1 + 2E_2$ ), y escribe la solución con el parámetro y « $t \in \mathbb{R}$ »: «todas las soluciones» exige la familia entera.