Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Junio · Opción A

También trata: Integrales

Enunciado

Se considera la función

f(x) = x\,e^{-x^2}

.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos de la función

f(x)

. (3 puntos)

b) La representación gráfica de la curva

y = f(x)

. (2 puntos)

c) El valor del parámetro

a

para que se pueda aplicar el teorema de Rolle en el intervalo

[0, 1]

a la función

g(x) = f(x) + ax

. (1 punto)

d) El valor de las integrales indefinidas

\int f(x)\,dx

\int x\,e^{-x}\,dx

. (4 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Asíntota

y = 0

. Crece en

\left(-\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\right)

y decrece fuera. Mínimo en

x = -\frac{1}{\sqrt2}

, máximo en

x = \frac{1}{\sqrt2}

(

\mp 0{,}43

).

b) Curva impar por el origen, pegada al eje X en los dos extremos.

c)

a = -\dfrac1e

.

d)

\int f(x)\,dx = -\frac12 e^{-x^2} + C

;

\int x\,e^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x} + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

f

es el producto de un polinomio por una exponencial, definida y derivable en todo

\mathbb{R}

: no tiene asíntotas verticales. Además es impar (

f(-x) = -f(x)

), así que su gráfica es simétrica respecto del origen y basta estudiar bien un lado.

Asíntota horizontal: en el infinito la exponencial $e^{-x^2}$ va a cero mucho más deprisa de lo que crece $x$ .
Monotonía y extremos: signo de $f'$ , que lleva la regla del producto y la de la cadena.
Rolle en $[0, 1]$ : $g$ es continua y derivable siempre, así que la única hipótesis que hay que imponer es $g(0) = g(1)$ .
Integrales: la primera es casi inmediata (la derivada de $-x^2$ es $-2x$ , que ya está multiplicando); la segunda, por partes.

Desarrollo

a) Dominio y simetría.

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}

f(-x) = -x\,e^{-x^2} = -f(x)

: es impar.

Asíntotas verticales. No hay:

f

es continua en todo

\mathbb{R}

.

Asíntota horizontal.

\lim_{x\to+\infty} x\,e^{-x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x^2}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x\,e^{x^2}} = 0

y, por ser impar, también tiende a 0 en

-\infty

. La recta

y = 0

es asíntota horizontal por los dos lados (así que no hay oblicuas).

Derivada.

f'(x) = e^{-x^2} + x\,e^{-x^2}\cdot(-2x) = e^{-x^2}\,(1 - 2x^2)

Puntos críticos. Como

e^{-x^2} > 0

f'(x) = 0 \iff 1 - 2x^2 = 0 \iff x = \pm\dfrac{1}{\sqrt2}

.

Signo de $f'$ . Es el de

1 - 2x^2

, una parábola hacia abajo:

	$\left(-\infty, -\frac{1}{\sqrt2}\right)$	$\left(-\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\right)$	$\left(\frac{1}{\sqrt2}, +\infty\right)$
signo de $f'$	$-$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	decrece

Extremos relativos.

f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{1}{\sqrt2}\,e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2e}} \approx 0{,}429, \qquad f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2e}} \approx -0{,}429

Mínimo relativo en

\left(-\frac{1}{\sqrt2}, -\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)

y máximo relativo en

\left(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt{2e}}\right)

.

b) Datos para la gráfica.

Corta a los ejes solo en el origen: $f(x) = 0 \iff x = 0$ .
Negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$ .
Simétrica respecto del origen, con $y = 0$ como asíntota horizontal: por la izquierda se acerca al eje por debajo y por la derecha por encima.
Decrece hasta el mínimo $\left(-0{,}71;\ -0{,}43\right)$ , crece pasando por el origen hasta el máximo $\left(0{,}71;\ 0{,}43\right)$ y vuelve a decrecer hacia el eje.
(Para afinar el dibujo: $f''(x) = 2x\,e^{-x^2}(2x^2 - 3)$ da puntos de inflexión en $x = 0$ y $x = \pm\sqrt{3/2} \approx \pm 1{,}22$ , con $f(\pm 1{,}22) \approx \pm 0{,}27$ .)

Gráfica de f(x) = x e^(−x²): viene desde la izquierda pegada al eje X por debajo, baja hasta un mínimo en x = −1/√2, sube pasando por el origen hasta un máximo en x = 1/√2 y vuelve a acercarse al eje X por encima.

c) Hipótesis de Rolle.

g(x) = x\,e^{-x^2} + ax

es suma de funciones continuas y derivables en

\mathbb{R}

, así que es continua en

[0, 1]

y derivable en

(0, 1)

para cualquier

a

. Falta

g(0) = g(1)

g(0) = 0, \qquad g(1) = e^{-1} + a \;\Longrightarrow\; 0 = \frac1e + a \;\Longrightarrow\; a = -\frac1e

d) Primera integral (casi inmediata). Como

\left(e^{-x^2}\right)' = -2x\,e^{-x^2}

, basta ajustar la constante:

\int x\,e^{-x^2}\,dx = -\frac12\int(-2x)\,e^{-x^2}\,dx = -\frac12\,e^{-x^2} + C

Segunda integral (por partes). Con

u = x

dv = e^{-x}\,dx

, se tiene

du = dx

v = -e^{-x}

\int x\,e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C = -(x + 1)\,e^{-x} + C

Comprobación derivando.

\left(-\frac12 e^{-x^2}\right)' = x\,e^{-x^2}

✓ y

\left(-(x+1)e^{-x}\right)' = -e^{-x} + (x + 1)e^{-x} = x\,e^{-x}

✓.

Consejo

En c), di explícitamente que $g$ es continua y derivable para todo $a$ : el corrector puntúa que compruebes las hipótesis, no solo que iguales $g(0) = g(1)$ .

En d), no te lances a hacer por partes la primera integral: si ves una función y la derivada de lo que hay dentro (aquí $x$ junto a $e^{-x^2}$ ), es casi inmediata. Y no te olvides de la constante $C$ en las indefinidas.