Consideramos en el espacio las rectas r: \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x - z + 3 = 0 \end{cases} y s: x = y + 1 = \dfrac{z-2}{2}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La ecuación del plano que contiene las rectas r y s. (3 puntos) b) La recta que pasa por P = (0, -1, 2) y corta perpendicularmente a la recta r. (4 puntos) c) El valor que deben tener los parámetros reales a y b para que la recta s esté contenida en el plano \pi: x - 2y + az = b. (3 puntos)

Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Consideramos en el espacio las rectas

r: \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x - z + 3 = 0 \end{cases}

s: x = y + 1 = \dfrac{z-2}{2}

.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La ecuación del plano que contiene las rectas

r

s

. (3 puntos)

b) La recta que pasa por

P = (0, -1, 2)

y corta perpendicularmente a la recta

r

. (4 puntos)

c) El valor que deben tener los parámetros reales

a

b

para que la recta

s

esté contenida en el plano

\pi: x - 2y + az = b

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

r

s

son paralelas; el plano que las contiene es

7x + y - 4z + 9 = 0

.

b)

x = \dfrac{y + 1}{-3} = z - 2

, que corta a

r

Q = (-1, 2, 1)

.

c)

a = \dfrac12

b = 3

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es tener las dos rectas en paramétricas, con un punto y un vector director cada una. Al hacerlo salta la sorpresa: las dos tienen el mismo director, así que son paralelas. Para el plano que las contiene no sirve usar los dos directores (son el mismo vector): se usa el director común y el vector que une un punto de

r

con un punto de

s

.

En b), el punto de corte

Q

es un punto genérico de

r

(con su parámetro

t

) y la condición es que

\overrightarrow{PQ}

sea perpendicular al director de

r

: producto escalar nulo.

En c), una recta está contenida en un plano si su director es perpendicular al normal y uno de sus puntos está en el plano.

Desarrollo

Las rectas en paramétricas.

En $r$ , tomando $x = t$ : $y = t + 3$ , $z = 2t + 3$ . Punto $R_0 = (0, 3, 3)$ y director $\vec u = (1, 1, 2)$ .
En $s$ , llamando $\lambda$ al valor común: $x = \lambda$ , $y = \lambda - 1$ , $z = 2 + 2\lambda$ . Punto $S_0 = (0, -1, 2)$ y director $\vec v = (1, 1, 2)$ .

a) Posición relativa.

\vec u = \vec v

: las rectas son paralelas o coincidentes.

R_0 = (0, 3, 3)

no está en

s

(con

x = 0

sería

y = -1

), así que son paralelas distintas y determinan un plano.

Vectores del plano. El director común

\vec u = (1, 1, 2)

\overrightarrow{R_0S_0} = (0, -1, 2) - (0, 3, 3) = (0, -4, -1)

.

Vector normal.

\vec n = \vec u \times \overrightarrow{R_0S_0} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & -4 & -1 \end{vmatrix} = \big(1\cdot(-1) - 2\cdot(-4),\; 2\cdot 0 - 1\cdot(-1),\; 1\cdot(-4) - 1\cdot 0\big) = (7, 1, -4)

Plano.

7x + y - 4z + D = 0

y, por

R_0

0 + 3 - 12 + D = 0 \Rightarrow D = 9

7x + y - 4z + 9 = 0

Comprobación.

S_0

0 - 1 - 8 + 9 = 0

✓; y

\vec n\cdot\vec u = 7 + 1 - 8 = 0

✓.

b) Punto de corte genérico. Un punto de

r

Q = (t,\, t + 3,\, 2t + 3)

, y

\overrightarrow{PQ} = (t,\; t + 4,\; 2t + 1)

Perpendicularidad.

\overrightarrow{PQ}\cdot\vec u = 0

t + (t + 4) + 2(2t + 1) = 6t + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

Así

Q = (-1, 2, 1)

\overrightarrow{PQ} = (-1, 3, -1)

.

Recta pedida. Pasa por

P = (0, -1, 2)

con director

(-1, 3, -1)

\frac{x}{-1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{-1} \qquad\Longleftrightarrow\qquad x = \frac{y + 1}{-3} = z - 2

Comprobación.

(-1, 3, -1)\cdot(1, 1, 2) = -1 + 3 - 2 = 0

✓, y

Q

cumple las dos ecuaciones de

r

-1 - 2 + 3 = 0

✓,

-2 - 1 + 3 = 0

✓. (Fíjate en que

P

es el punto

S_0

s

.)

c) Condición de paralelismo. El normal de

\pi

(1, -2, a)

y debe ser perpendicular a

\vec v = (1, 1, 2)

1 - 2 + 2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac12

Un punto de $s$ en el plano.

S_0 = (0, -1, 2)

debe cumplir la ecuación:

0 - 2(-1) + \frac12\cdot 2 = b \;\Longrightarrow\; b = 3

Comprobación. Con

a = \frac12

b = 3

, el punto genérico

(\lambda, \lambda - 1, 2 + 2\lambda)

\lambda - 2\lambda + 2 + 1 + \lambda = 3

para todo

\lambda

✓.

Consejo

Antes de hacer el producto vectorial de los dos directores, mira si son paralelos: aquí lo son, y el producto saldría $\vec 0$ . Con rectas paralelas, el segundo vector del plano es el que une un punto de cada recta.

En c) no basta con el paralelismo: si solo exiges $\vec v \perp \vec n$ , la recta podría ser paralela al plano sin estar dentro. Hace falta además que un punto suyo cumpla la ecuación.