Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Junio · Opción A

También trata: Sistemas de ecuaciones

Enunciado

Se dan la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ -2 & a+1 & 2 \\ -3 & a-1 & a \end{pmatrix}

, que depende del parámetro real

a

, y una matriz cuadrada

B

de orden 3 tal que

B^2 = \frac{1}{3}\,I - 2B

, siendo

I

la matriz identidad de orden 3.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El rango de la matriz

A

en función del parámetro

a

(2 puntos) y el determinante de la matriz

2A^{-1}

cuando

a = 1

. (2 puntos)

b) Todas las soluciones del sistema de ecuaciones

A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}

cuando

a = -1

. (3 puntos)

c) La comprobación de que

B

es invertible, encontrando

m

n

tales que

B^{-1} = mB + nI

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|A| = 2(a+1)^2

\operatorname{rg}(A) = 3

a \neq -1

\operatorname{rg}(A) = 2

a = -1

. Para

a = 1

|2A^{-1}| = 1

.

b) Compatible indeterminado:

x = t

y = -\frac12 - 2t

z = t + 1

, con

t \in \mathbb{R}

.

c)

B(3B + 6I) = I

, luego

B

es invertible y

B^{-1} = 3B + 6I

m = 3

n = 6

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor de un determinante,

|A|

, que depende de

a

Donde $|A| \neq 0$ el rango es 3; en los valores que lo anulan hay que buscar un menor de orden 2 distinto de cero.
Para $|2A^{-1}|$ no hace falta calcular la inversa: basta con las propiedades $|kM| = k^3|M|$ (orden 3) y $|A^{-1}| = 1/|A|$ .
En b), con $a = -1$ el determinante es cero: el sistema no puede ser compatible determinado. Se mira con Rouché si es compatible y se resuelve con un parámetro.

El apartado c) no necesita conocer

B

: se reescribe la igualdad

B^2 + 2B = \frac13 I

sacando

B

factor común, y aparece directamente una matriz que multiplicada por

B

da la identidad.

Desarrollo

a) Determinante de $A$ . Desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} a+1 & 2 \\ a-1 & a \end{vmatrix} - 0 + a\cdot\begin{vmatrix} -2 & a+1 \\ -3 & a-1 \end{vmatrix}

= \big(a^2 + a - 2a + 2\big) + a\big(-2a + 2 + 3a + 3\big) = a^2 - a + 2 + a^2 + 5a = 2a^2 + 4a + 2 = 2(a+1)^2

Rango.

|A| = 0 \iff a = -1

Si $a \neq -1$ : $|A| \neq 0$ y $\operatorname{rg}(A) = 3$ .
Si $a = -1$ : $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & -1 \end{pmatrix}$ y el menor de las filas 1 y 3 y las columnas 1 y 2 vale $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$ , así que $\operatorname{rg}(A) = 2$ .

Determinante de $2A^{-1}$ para $a = 1$ . Ahora

|A| = 2\cdot 2^2 = 8 \neq 0

, luego

A

es invertible. Como

A^{-1}

es de orden 3:

|2A^{-1}| = 2^3\,|A^{-1}| = \frac{8}{|A|} = \frac{8}{8} = 1

b) El sistema para $a = -1$ . Es

\begin{cases} x - z = -1 \\ -2x + 2z = 2 \\ -3x - 2y - z = 0 \end{cases}

Compatibilidad. Por a),

\operatorname{rg}(A) = 2

. La segunda ecuación es la primera multiplicada por

-2

(también el término independiente:

-2\cdot(-1) = 2

), así que la ampliada tiene también rango 2. Por Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado, con

3 - 2 = 1

parámetro.

Resolución. Nos quedamos con la primera y la tercera ecuación y tomamos

x = t

z = t + 1, \qquad -2y = 3x + z = 3t + t + 1 = 4t + 1 \;\Longrightarrow\; y = -\frac12 - 2t

Comprobación. Con

t = 0

(0, -\tfrac12, 1)

;

0 - 1 = -1

✓,

0 + 2 = 2

✓,

0 + 1 - 1 = 0

✓.

c) Sacar $B$ factor común. De

B^2 = \frac13 I - 2B

B^2 + 2B = \frac13 I \;\Longrightarrow\; B\,(B + 2I) = \frac13 I \;\Longrightarrow\; B\,(3B + 6I) = I

(Al sacar factor común hay que escribir

2B = B\cdot 2I

;

B

I

conmutan, así que también

(3B + 6I)\,B = I

.)

Conclusión. Existe una matriz que multiplicada por

B

da la identidad, luego

B

es invertible y

B^{-1} = 3B + 6I \;\Longrightarrow\; m = 3, \quad n = 6

(También se ve que

|B|\cdot|3B + 6I| = |I| = 1

, así que

|B| \neq 0

Consejo

El error típico de a) es escribir $|2A^{-1}| = 2/|A|$ : el escalar sale elevado al orden de la matriz, $|kM| = k^n|M|$ . Y no calcules $A^{-1}$ entera: no hace falta.

En c) el truco es no despejar $B$ , sino sacarla factor común y llevar todo a la forma $B\cdot(\ldots) = I$ . Cuidado al sacar factor común: $B^2 + 2B = B(B + 2I)$ , con la identidad; escribir $B(B + 2)$ no tiene sentido, porque no se suma un número a una matriz.