Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Julio · Opción B

a) Distancia entre dos puntos. Entre $(x, 4 - x^2)$ y $(0, 2)$:$$d(x) = \sqrt{(x - 0)^2 + \big(4 - x^2 - 2\big)^2} = \sqrt{x^2 + (2 - x^2)^2}$$Desarrollando el cuadrado, $x^2 + 4 - 4x^2 + x^4 = x^4 - 3x^2 + 4$, así que$$d(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 4}, \qquad -2 \leq x \leq 2$$b) Función auxiliar. Como $\sqrt{\ }$ es creciente, $d$ y $g(x) = d(x)^2 = x^4 - 3x^2 + 4$ tienen los extremos en los mismos puntos. $g$ es continua en $[-2, 2]$, que es cerrado y acotado, así que (Weierstrass) alcanza máximo y mínimo absolutos, en un punto crítico o en un extremo del intervalo.

Puntos críticos.$$g'(x) = 4x^3 - 6x = 2x\,(2x^2 - 3) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \quad \text{o} \quad x = \pm\sqrt{\tfrac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2} \approx \pm 1{,}22$$todos dentro de $[-2, 2]$.

Tabla de valores.Máximo absoluto. El mayor valor es $d = 2\sqrt{2}$, en $x = \pm 2$. Los puntos de la curva son $(-2, 0)$ y $(2, 0)$, los extremos del recorrido.

c) Mínimo absoluto. El menor valor de la tabla es $d = \frac{\sqrt{7}}{2}$, en $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$. Su ordenada es$$y = 4 - \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{6}{2} = \frac{5}{2}$$Los puntos más cercanos son $\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{5}{2}\right)$ y $\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{5}{2}\right)$. Fíjate en que el vértice $(0, 4)$ no es el más cercano: está a distancia $2$ (en $x = 0$ hay un máximo relativo de $d$).

d) Qué curva va por encima. Las dos curvas se tocan en $(\pm 2, 0)$, y en $x = 0$ la parábola vale $4$ y la uve vale $2$: la parábola va por encima. En $[0, 2]$, donde $|x| = x$:$$(4 - x^2) - (2 - x) = 2 + x - x^2 = (2 - x)(1 + x) \geq 0 \quad \text{en } [0, 2]$$Y no se cortan en ningún otro punto del intervalo (las raíces son $x = 2$ y $x = -1$, esta fuera de $[0, 2]$).

Simetría. Las dos funciones son pares, así que el recinto es simétrico respecto del eje $OY$:$$\text{Área} = \int_{-2}^{2}\Big[(4 - x^2) - (2 - |x|)\Big]\,dx = 2\int_0^2 \left(2 + x - x^2\right)dx$$Barrow.$$2\left[2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 2\left(4 + 2 - \frac{8}{3}\right) = 2\cdot\frac{10}{3} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\ \text{u}^2$$