Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Julio · Opción B

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Comunitat Valenciana · 2019 · Julio · Opción B
Enunciado
Se dan en el espacio la recta r:x−α−1=y−4=zβr: \dfrac{x - \alpha}{-1} = \dfrac{y}{-4} = \dfrac{z}{\beta} y el plano π:x+2y+3z=6\pi: x + 2y + 3z = 6.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La posición relativa de la recta rr y el plano π\pi en función de los parámetros reales α\alpha y β\beta. (5 puntos)

b) La distancia entre la recta rr y el plano π\pi cuando α=6\alpha = 6 y β=3\beta = 3. (3 puntos)

c) La ecuación del plano que pasa por (0,0,0)(0, 0, 0) y que no corta al plano π\pi. (2 puntos)
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Resultado
a) Si β≠3\beta \neq 3, rr y π\pi se cortan en un punto. Si β=3\beta = 3 y α≠6\alpha \neq 6, rr es paralela a π\pi (no contenida). Si β=3\beta = 3 y α=6\alpha = 6, rr está contenida en π\pi.

b) Con α=6\alpha = 6 y β=3\beta = 3 la recta está en el plano: d(r,π)=0d(r, \pi) = 0.

c) x+2y+3z=0x + 2y + 3z = 0.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

De la ecuación continua de rr se leen un punto, Pr=(α,0,0)P_r = (\alpha, 0, 0), y un vector director, v⃗=(−1,−4,β)\vec v = (-1, -4, \beta). Del plano, su normal n⃗=(1,2,3)\vec n = (1, 2, 3).

La posición relativa sale de comparar v⃗\vec v con n⃗\vec n:
  • si v⃗⋅n⃗≠0\vec v\cdot\vec n \neq 0, la recta no es paralela al plano y lo corta en un punto;
  • si v⃗⋅n⃗=0\vec v\cdot\vec n = 0, la recta es paralela al plano y queda mirar si su punto PrP_r está en π\pi: si lo está, la recta está contenida; si no, es paralela exterior.
Así se ve que β\beta decide si es secante o paralela, y α\alpha si, siendo paralela, está dentro o fuera.

En b) basta reconocer el caso de a). En c), un plano que no corta a π\pi es un plano paralelo: mismo vector normal.
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Desarrollo

a) Elementos. Pr=(α,0,0)P_r = (\alpha, 0, 0), v⃗=(−1,−4,β)\vec v = (-1, -4, \beta) y n⃗=(1,2,3)\vec n = (1, 2, 3).

Producto escalar.v⃗⋅n⃗=(−1)⋅1+(−4)⋅2+β⋅3=3β−9\vec v\cdot\vec n = (-1)\cdot 1 + (-4)\cdot 2 + \beta\cdot 3 = 3\beta - 9que se anula solo para β=3\beta = 3.

Caso β≠3\beta \neq 3. v⃗⋅n⃗≠0\vec v\cdot\vec n \neq 0: el director no es perpendicular al normal, así que rr no es paralela a π\pi. La recta y el plano se cortan en un punto (sea cual sea α\alpha).

Caso β=3\beta = 3. v⃗⊥n⃗\vec v \perp \vec n: la recta es paralela al plano o está contenida en él. Miramos si Pr=(α,0,0)P_r = (\alpha, 0, 0) está en π\pi:α+2⋅0+3⋅0=6  ⟺  α=6\alpha + 2\cdot 0 + 3\cdot 0 = 6 \iff \alpha = 6
  • Si β=3\beta = 3 y α≠6\alpha \neq 6: Pr∉πP_r \notin \pi, la recta es paralela a π\pi y no está contenida en él.
  • Si β=3\beta = 3 y α=6\alpha = 6: Pr∈πP_r \in \pi y la recta es paralela, así que está contenida en π\pi.
Comprobación con un sistema. Escribiendo rr en paramétricas, (x,y,z)=(α−t, −4t, βt)(x, y, z) = (\alpha - t,\ -4t,\ \beta t), y sustituyendo en π\pi:α−t−8t+3βt=6  ⟹  (3β−9) t=6−α\alpha - t - 8t + 3\beta t = 6 \;\Longrightarrow\; (3\beta - 9)\,t = 6 - \alphaCon β≠3\beta \neq 3 hay un único tt (un punto de corte); con β=3\beta = 3 queda 0=6−α0 = 6 - \alpha, que es imposible si α≠6\alpha \neq 6 (no hay puntos comunes) y se cumple para todo tt si α=6\alpha = 6 (todos los puntos son comunes) ✓.

b) Con α=6\alpha = 6 y β=3\beta = 3 estamos en el último caso de a): la recta está contenida en el plano, así que tienen puntos comunes yd(r,π)=0d(r, \pi) = 0Lo confirma la fórmula de la distancia con el punto Pr=(6,0,0)P_r = (6, 0, 0):d(r,π)=d(Pr,π)=∣6+0+0−6∣12+22+32=014=0d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|6 + 0 + 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{0}{\sqrt{14}} = 0c) Plano paralelo. Dos planos no se cortan solo si son paralelos (y distintos). Un plano paralelo a π\pi tiene el mismo normal:σ:x+2y+3z+D=0\sigma: x + 2y + 3z + D = 0Por el origen: 0+0+0+D=0⇒D=00 + 0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0. Quedaσ:x+2y+3z=0\sigma: x + 2y + 3z = 0que es distinto de π\pi (el origen no cumple 0=60 = 6), así que efectivamente no lo corta.
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Consejo

En la posición recta-plano, empieza por el producto escalar v⃗⋅n⃗\vec v\cdot\vec n: si no es cero, la recta corta al plano y no hay más que decir. Solo si es cero tienes que mirar un punto de la recta para distinguir «paralela» de «contenida». No te olvides de ese segundo paso: es donde entra el otro parámetro y donde se pierden puntos.

En b), di que la distancia es 00 porque la recta está contenida, enlazando con a). Y en c), «no corta» significa «paralelo»: mismo normal y el término independiente que imponga el punto.
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