Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Julio · Opción B

También trata: Determinantes

Enunciado

Se dan las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de

\alpha

para los que la ecuación matricial

AX = \alpha X

solo admite una solución. (4 puntos)

b) Todas las soluciones de la ecuación matricial

AX = 5X

. (3 puntos)

c) Comprobar que

X = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

es una solución de la ecuación matricial

AX = 2X

y, sin calcular la matriz

A^{100}

, obtener el valor

\beta

tal que

A^{100}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \beta\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) La ecuación

AX = \alpha X

solo tiene una solución (la trivial

X = O

) si

\alpha \neq 2

\alpha \neq 5

.

b)

X = \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

, es decir,

(x, y) = (\lambda, \lambda)

con

\lambda \in \mathbb{R}

.

c)

A\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

, y

\beta = 2^{100}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La clave es pasar todo a un lado:

AX = \alpha X

es lo mismo que

(A - \alpha I)X = O

un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas. Un homogéneo siempre tiene la solución

X = O

; es la única exactamente cuando el determinante de la matriz

A - \alpha I

no es cero. Así que a) se reduce a ver cuándo se anula

|A - \alpha I|

.

Para los valores que lo anulan (

\alpha = 5

en b) hay infinitas soluciones, que se escriben con un parámetro.

En c), si

AX = 2X

, multiplicar otra vez por

A

vuelve a sacar un

2

A^2X = 2AX = 4X

, y así sucesivamente. Con eso

A^{100}X

sale sin calcular ninguna potencia de

A

Desarrollo

a) Sistema homogéneo.

AX = \alpha X \iff AX - \alpha IX = O \iff (A - \alpha I)X = O

, con

A - \alpha I = \begin{pmatrix} 1 - \alpha & 4 \\ -1 & 6 - \alpha \end{pmatrix}

Determinante.

|A - \alpha I| = (1 - \alpha)(6 - \alpha) - 4\cdot(-1) = \alpha^2 - 7\alpha + 6 + 4 = \alpha^2 - 7\alpha + 10

\alpha^2 - 7\alpha + 10 = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \;\Longrightarrow\; \alpha = 2 \ \text{ o } \ \alpha = 5

Discusión.

Si $\alpha \neq 2$ y $\alpha \neq 5$ : $|A - \alpha I| \neq 0$ , el rango de la matriz es 2 (igual al número de incógnitas) y el homogéneo es compatible determinado. La única solución es la trivial, $X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Si $\alpha = 2$ o $\alpha = 5$ : el rango es 1 y hay infinitas soluciones.

La ecuación solo admite una solución para

\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{2, 5\}

.

b) Con $\alpha = 5$ :

A - 5I = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -4x + 4y = 0 \\ -x + y = 0 \end{cases}

Las dos ecuaciones son proporcionales (la primera es la segunda por 4) y se reducen a

y = x

. Llamando

x = \lambda

X = \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda \end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Comprobación.

A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 4 \\ -1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

✓.

c) Comprobación de $AX = 2X$ .

A\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 4 + 4\cdot 1 \\ -1\cdot 4 + 6\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \ ✓

Potencias. Llamemos

v = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

, con

Av = 2v

. Multiplicando por

A

y usando que un número conmuta con las matrices:

A^2 v = A(Av) = A(2v) = 2\,Av = 2\cdot 2v = 2^2 v

A^3 v = A(A^2 v) = A(2^2 v) = 2^2\,Av = 2^3 v

y, en general (por inducción: si

A^n v = 2^n v

, entonces

A^{n+1}v = A(2^n v) = 2^n Av = 2^{n+1}v

A^n v = 2^n v

para todo

n \geq 1

. En particular

A^{100}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = 2^{100}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \beta = 2^{100}

Consejo

No intentes despejar $X$ en $AX = \alpha X$ «dividiendo»: pasa $\alpha X$ a la izquierda y saca factor común con la identidad, $(A - \alpha I)X = O$ . Escribir $(A - \alpha)X$ es un error que el corrector penaliza: no se resta un número a una matriz.

En un sistema homogéneo la pregunta «¿solo una solución?» siempre se responde con el determinante. Y en c) el enunciado te pide no calcular $A^{100}$ : lo que se puntúa es el razonamiento $A^n v = 2^n v$ , así que escríbelo con dos o tres potencias y la inducción.