Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Julio · Opción A

a) Dominio. Buscamos dónde se anula el denominador:$$x^2 + 2x + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm\sqrt{-16}}{2} \notin \mathbb{R}$$El denominador no se anula nunca, así que $\operatorname{Dom}(h) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$.

Límite en $+\infty$. Es un cociente de polinomios con el numerador de mayor grado (3 frente a 2):$$\lim_{x\to+\infty} \frac{x^3 + x^2 + 5x - 3}{x^2 + 2x + 5} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x\to+\infty} x = +\infty$$Límite en $0$. $h$ es continua en $x = 0$ (es un punto del dominio), así que basta sustituir:$$\lim_{x\to 0} h(x) = h(0) = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}$$b) No hay asíntotas verticales (el dominio es todo $\mathbb{R}$) ni horizontales (los límites en $\pm\infty$ son infinitos). Como el grado del numerador supera en uno al del denominador, hay una asíntota oblicua.

División de polinomios. Dividimos $x^3 + x^2 + 5x - 3$ entre $x^2 + 2x + 5$:

• Primer término del cociente: $x$. Restamos $x(x^2 + 2x + 5) = x^3 + 2x^2 + 5x$ y queda $-x^2 - 3$.
• Segundo término: $-1$. Restamos $-1\cdot(x^2 + 2x + 5) = -x^2 - 2x - 5$ y queda $2x + 2$.

Por tanto$$h(x) = x - 1 + \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5}$$Asíntota. La fracción tiende a $0$ cuando $x \to \pm\infty$ (grado 1 entre grado 2), así que$$\lim_{x\to\pm\infty}\big(h(x) - (x - 1)\big) = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5} = 0$$y la asíntota oblicua es $y = x - 1$ (en $+\infty$ y en $-\infty$).

c) Primitiva. Usamos la descomposición de b). En la fracción, el numerador $2x + 2$ es exactamente la derivada del denominador $x^2 + 2x + 5$, así que es inmediata de tipo logaritmo:$$\int h(x)\,dx = \int (x - 1)\,dx + \int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5}\,dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln\left(x^2 + 2x + 5\right) + C$$No hace falta valor absoluto: $x^2 + 2x + 5 > 0$ siempre.

Signo de $h$ en $[1, 5]$. El denominador es siempre positivo, así que el signo de $h$ es el del numerador $N(x) = x^3 + x^2 + 5x - 3$. Su derivada $N'(x) = 3x^2 + 2x + 5$ tiene discriminante $4 - 60 < 0$, luego $N' > 0$ y $N$ es creciente. Como $N(1) = 1 + 1 + 5 - 3 = 4 > 0$, se cumple $N(x) > 0$ en todo $[1, 5]$: la curva va por encima del eje $OX$ y el área es directamente la integral.

Área (Barrow). Con $F(x) = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x^2 + 2x + 5)$:$$F(5) = \frac{25}{2} - 5 + \ln 40 = \frac{15}{2} + \ln 40, \qquad F(1) = \frac{1}{2} - 1 + \ln 8 = -\frac{1}{2} + \ln 8$$$$\text{Área} = \int_1^5 h(x)\,dx = F(5) - F(1) = \frac{15}{2} + \frac{1}{2} + \ln 40 - \ln 8 = 8 + \ln\frac{40}{8} = 8 + \ln 5 \approx 9{,}61\ \text{u}^2$$