Matemáticas IIFácil3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

Se da el plano

\pi: 2x + y + 2z = 8

y el punto

P = (10, 0, 10)

.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La distancia del punto

P

al plano

\pi

. (3 puntos)

b) El área del triángulo cuyos vértices son los puntos

A

B

C

, obtenidos al hallar la intersección del plano

\pi

con los ejes de coordenadas. (4 puntos)

c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son

P

A

B

C

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

d(P, \pi) = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67

u.

b)

A = (4, 0, 0)

B = (0, 8, 0)

C = (0, 0, 4)

; área del triángulo

= 24\ \text{u}^2

.

c)

V = \dfrac{256}{3} \approx 85{,}33\ \text{u}^3

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres fórmulas clásicas de la geometría métrica, y todas encajan entre sí:

a) la distancia de un punto a un plano, con la fórmula del valor absoluto partido por el módulo del vector normal;
b) los cortes con los ejes salen anulando dos coordenadas; el área del triángulo es la mitad del módulo de un producto vectorial;
c) el tetraedro $PABC$ tiene por base el triángulo $ABC$ , que está en $\pi$ , y por altura justo la distancia de a). Así que $V = \frac{1}{3}\cdot\text{base}\cdot\text{altura}$ sale sin más cuentas; el producto mixto sirve de comprobación.

Desarrollo

a) Distancia de un punto a un plano. Con

\pi: 2x + y + 2z - 8 = 0

P = (10, 0, 10)

d(P, \pi) = \frac{|2\cdot 10 + 0 + 2\cdot 10 - 8|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|32|}{\sqrt{9}} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67\ \text{u}

b) Cortes con los ejes. En cada eje se anulan las otras dos coordenadas:

Eje $OX$ ( $y = z = 0$ ): $2x = 8 \Rightarrow A = (4, 0, 0)$ .
Eje $OY$ ( $x = z = 0$ ): $y = 8 \Rightarrow B = (0, 8, 0)$ .
Eje $OZ$ ( $x = y = 0$ ): $2z = 8 \Rightarrow C = (0, 0, 4)$ .

Vectores del triángulo.

\overrightarrow{AB} = (-4, 8, 0), \qquad \overrightarrow{AC} = (-4, 0, 4)

Producto vectorial.

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -4 & 8 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \big(8\cdot 4 - 0,\; 0 - (-4)\cdot 4,\; 0 - 8\cdot(-4)\big) = (32, 16, 32)

Es proporcional a

(2, 1, 2)

, el normal de

\pi

: tiene sentido, porque el triángulo está en el plano.

Área.

\text{Área}_{ABC} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\sqrt{32^2 + 16^2 + 32^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2304} = \frac{48}{2} = 24\ \text{u}^2

c) Base y altura. La cara

ABC

está en

\pi

, así que la altura del tetraedro desde

P

d(P, \pi)

V = \frac{1}{3}\cdot \text{Área}_{ABC}\cdot d(P, \pi) = \frac{1}{3}\cdot 24\cdot\frac{32}{3} = \frac{256}{3} \approx 85{,}33\ \text{u}^3

Comprobación con el producto mixto. Con

\overrightarrow{AP} = (6, 0, 10)

\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AP}\right] = \begin{vmatrix} -4 & 8 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \\ 6 & 0 & 10 \end{vmatrix} = -8\begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 6 & 10 \end{vmatrix} = -8(-40 - 24) = 512

V = \frac{1}{6}\,|512| = \frac{256}{3}\ \text{u}^3 \ ✓

Consejo

Cuando una cara del tetraedro está en un plano conocido, el volumen sale de $\frac{1}{3}\cdot\text{base}\cdot\text{altura}$ con la distancia del cuarto vértice a ese plano: es exactamente lo que el problema te ha hecho calcular en a) y b). Úsalo y comprueba con el producto mixto ( $\frac{1}{6}$ de su valor absoluto).

Y no te dejes los factores: $\frac{1}{2}$ en el área del triángulo y $\frac{1}{6}$ en el volumen del tetraedro. Sin ellos tendrías el paralelogramo y el paralelepípedo.