Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2019 · Julio · Opción A

Comunitat Valenciana · 2019 · Julio · Opción A
Enunciado
Se da el sistema de ecuaciones{2x+3z=αx−2y+2z=53x−y+5z=α+1\begin{cases} 2x + 3z = \alpha \\ x - 2y + 2z = 5 \\ 3x - y + 5z = \alpha + 1 \end{cases}donde α\alpha es un parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de α\alpha para los que el sistema es compatible y determinado. (4 puntos)

b) La solución del sistema cuando α=−1\alpha = -1. (3 puntos)

c) El valor de α\alpha para que el sistema tenga una solución (x,y,z)(x, y, z) que verifique x+y+z=0x + y + z = 0. (3 puntos)
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) ∣A∣=−1≠0|A| = -1 \neq 0: el sistema es compatible determinado para todo α∈R\alpha \in \mathbb{R}. Su solución es (x,y,z)=(2α+9, −4, −α−6)(x, y, z) = (2\alpha + 9,\ -4,\ -\alpha - 6).

b) Con α=−1\alpha = -1: (x,y,z)=(7,−4,−5)(x, y, z) = (7, -4, -5).

c) α=1\alpha = 1 (la solución es entonces (11,−4,−7)(11, -4, -7)).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

Aquí el parámetro α\alpha solo aparece en los términos independientes, no en los coeficientes. Eso cambia mucho la discusión: el determinante de la matriz de coeficientes es un número fijo, y si no es cero, el sistema es compatible determinado para cualquier α\alpha. No hay casos que separar.

Como la solución existe y es única siempre, lo más cómodo es calcularla una vez, en función de α\alpha, con la regla de Cramer. Con esa solución general:
  • en b) basta sustituir α=−1\alpha = -1;
  • en c) se impone x+y+z=0x + y + z = 0 y sale una ecuación de primer grado en α\alpha.
2

Desarrollo

a) Matriz de coeficientes. No depende de α\alpha:A=(2031−223−15)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}Su determinante, desarrollando por la primera fila:∣A∣=2∣−22−15∣−0+3∣1−23−1∣=2(−10+2)+3(−1+6)=−16+15=−1|A| = 2\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} - 0 + 3\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 2(-10 + 2) + 3(-1 + 6) = -16 + 15 = -1Rouché-Frobenius. Como ∣A∣=−1≠0|A| = -1 \neq 0, rg⁡(A)=3\operatorname{rg}(A) = 3; la ampliada tiene tres filas, así que también rg⁡(A∗)=3\operatorname{rg}(A^*) = 3, igual al número de incógnitas. El sistema es compatible determinado para todo α∈R\alpha \in \mathbb{R}.

Solución general (Cramer). Ya que siempre hay solución única, la calculamos en función de α\alpha; nos servirá para b) y c).x=1∣A∣∣α035−22α+1−15∣=α(−10+2)+3(−5+2(α+1))−1=−8α+6α−9−1=2α+9x = \frac{1}{|A|}\begin{vmatrix} \alpha & 0 & 3 \\ 5 & -2 & 2 \\ \alpha + 1 & -1 & 5 \end{vmatrix} = \frac{\alpha(-10 + 2) + 3\big(-5 + 2(\alpha + 1)\big)}{-1} = \frac{-8\alpha + 6\alpha - 9}{-1} = 2\alpha + 9y=1∣A∣∣2α31523α+15∣=2(25−2(α+1))−α(5−6)+3(α+1−15)−1=46−4α+α+3α−42−1=−4y = \frac{1}{|A|}\begin{vmatrix} 2 & \alpha & 3 \\ 1 & 5 & 2 \\ 3 & \alpha + 1 & 5 \end{vmatrix} = \frac{2\big(25 - 2(\alpha + 1)\big) - \alpha(5 - 6) + 3\big(\alpha + 1 - 15\big)}{-1} = \frac{46 - 4\alpha + \alpha + 3\alpha - 42}{-1} = -4z=1∣A∣∣20α1−253−1α+1∣=2(−2(α+1)+5)+α(−1+6)−1=6−4α+5α−1=−α−6z = \frac{1}{|A|}\begin{vmatrix} 2 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 5 \\ 3 & -1 & \alpha + 1 \end{vmatrix} = \frac{2\big(-2(\alpha + 1) + 5\big) + \alpha(-1 + 6)}{-1} = \frac{6 - 4\alpha + 5\alpha}{-1} = -\alpha - 6Curiosamente, y=−4y = -4 no depende de α\alpha.

b) Sustituimos α=−1\alpha = -1 en la solución general:x=2(−1)+9=7,y=−4,z=−(−1)−6=−5x = 2(-1) + 9 = 7, \qquad y = -4, \qquad z = -(-1) - 6 = -5Comprobación en el sistema con α=−1\alpha = -1:
  • 2⋅7+3(−5)=14−15=−1=α2\cdot 7 + 3(-5) = 14 - 15 = -1 = \alpha ✓
  • 7−2(−4)+2(−5)=7+8−10=57 - 2(-4) + 2(-5) = 7 + 8 - 10 = 5 ✓
  • 3⋅7−(−4)+5(−5)=21+4−25=0=α+13\cdot 7 - (-4) + 5(-5) = 21 + 4 - 25 = 0 = \alpha + 1 ✓
c) Imponemos la condición a la solución general:x+y+z=(2α+9)+(−4)+(−α−6)=α−1=0  ⟹  α=1x + y + z = (2\alpha + 9) + (-4) + (-\alpha - 6) = \alpha - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 1Comprobación. Con α=1\alpha = 1 la solución es (11,−4,−7)(11, -4, -7), que suma 00, y cumple el sistema: 22−21=122 - 21 = 1, 11+8−14=511 + 8 - 14 = 5 y 33+4−35=2=α+133 + 4 - 35 = 2 = \alpha + 1 ✓.
3

Consejo

Antes de discutir, mira dónde está el parámetro. Si solo aparece en los términos independientes, el determinante de los coeficientes es un número: si no es cero, el sistema es compatible determinado siempre y no hay que estudiar casos. Dilo con Rouché-Frobenius (rangos iguales a 3): el corrector puntúa el razonamiento, no solo el «siempre».

En c), resolver el sistema en función de α\alpha con Cramer te ahorra trabajo: la misma solución general te da b) por sustitución. Y comprueba siempre la solución en las tres ecuaciones: un signo en un adjunto se nota enseguida.
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Sistemas de ecuaciones
Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera las matrices A=(121031−200),X=(xyz)yB=(331).A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 3Sistemas de ecuaciones
Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Considera el sistema de ecuaciones {x+y+z=17x+3y+3z=15x−y−z=5\left\{\begin{aligned} x + y + z &= 1 \\ 7x + 3y + 3z &= 15 \\ x - y - z &= 5 \end{aligned}\right.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 4Sistemas de ecuaciones
Ejercicio 3.1 (bloque con optatividad 1). Una familia va al mercado semanalmente y compra tres tipos de alimentos…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · JulioSistemas de ecuaciones
Ejercicio 2 (parte obligatoria). Una empresa produce tres tipos de productos, AA, BB y CC. Si el precio…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 2
Apuntes y todos los problemas de Álgebra →