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Problema resuelto de Matemáticas II: Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Lanzamos un dado de seis caras 6000 veces. Calcular la probabilidad de que el número de veces que salga el 5

a) sea superior a 1500.

b) esté comprendido entre 1000 y 1100.

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)

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Resultado

X \sim B\!\left(6000, \tfrac16\right) \approx N(1000;\ 28{,}87)

.

a)

P(X > 1500) \approx P(Z > 17{,}34) \approx 0

.

b)

P(1000 < X < 1100) \approx P(0{,}02 < Z < 3{,}45) \approx 0{,}4917

(con los extremos incluidos,

\approx 0{,}508

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada lanzamiento es un ensayo con dos resultados (sale el 5 o no) y probabilidad de éxito

p = \tfrac16

constante, así que el número de cincos es una binomial

B\!\left(6000, \tfrac16\right)

. Con

n = 6000

es imposible calcularla término a término, pero

np

nq

son enormes: se aproxima por una normal con la misma media y desviación típica, aplicando la corrección por continuidad (cada valor entero

k

pasa a ser el intervalo

[k - 0{,}5,\ k + 0{,}5]

Desarrollo

Modelo.

X

= número de veces que sale el 5:

X \sim B\!\left(6000, \tfrac16\right), \qquad np = 1000 \geq 5, \quad nq = 5000 \geq 5

Normal que la aproxima.

\mu = np = 6000\cdot\frac16 = 1000, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{6000\cdot\frac16\cdot\frac56} = \sqrt{833{,}3} \approx 28{,}87

X \approx X' \sim N(1000;\ 28{,}87)

a) Más de 1500 cincos. «Superior a 1500» es

X \geq 1501

; con la corrección por continuidad:

P(X > 1500) \approx P(X' > 1500{,}5) = P\!\left(Z > \frac{1500{,}5 - 1000}{28{,}87}\right) = P(Z > 17{,}34) \approx 0

1500 está a más de 17 desviaciones típicas de la media: es prácticamente imposible.

b) Entre 1000 y 1100. Tomando «comprendido entre» en sentido estricto,

1000 < X < 1100

, es decir,

1001 \leq X \leq 1099

P(1000 < X < 1100) \approx P(1000{,}5 < X' < 1099{,}5)

Tipificamos.

z_1 = \frac{1000{,}5 - 1000}{28{,}87} \approx 0{,}02, \qquad z_2 = \frac{1099{,}5 - 1000}{28{,}87} \approx 3{,}45

Con la tabla.

P(0{,}02 < Z < 3{,}45) = P(Z < 3{,}45) - P(Z < 0{,}02) = 0{,}9997 - 0{,}5080 = 0{,}4917

Si se entiende «entre» incluyendo los extremos,

1000 \leq X \leq 1100

, la corrección da

P(999{,}5 < X' < 1100{,}5) = P(-0{,}02 < Z < 3{,}48) = 0{,}9997 - 0{,}4920 = 0{,}5077

. La diferencia es solo la probabilidad de los dos extremos.

Consejo

La corrección da medio punto solo por identificar el modelo: escribe la binomial con sus parámetros, comprueba que $np$ y $nq$ son grandes y di qué normal la aproxima, con $\sigma = \sqrt{npq}$ (no $npq$ ). No olvides la corrección por continuidad y piensa en cada desigualdad si el extremo entra o no: «superior a 1500» empieza en 1501, así que el corte es 1500,5.

Paso 1 de 3

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