Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción B

Puntos de corte.$$x^2 = x + 2 \;\Longleftrightarrow\; x^2 - x - 2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; (x - 2)(x + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1,\ x = 2$$Los puntos son $(-1, 1)$ y $(2, 4)$.

Esbozo del recinto. La parábola $y = x^2$ tiene el vértice en el origen y se abre hacia arriba; la recta $y = x + 2$ tiene pendiente 1 y corta al eje $Y$ en $(0, 2)$. Entre $x = -1$ y $x = 2$ la recta va por encima de la parábola (en $x = 0$: $2 > 0$). El recinto es la región con forma de segmento parabólico encerrada entre la recta (borde superior) y el arco de parábola (borde inferior), desde $(-1, 1)$ hasta $(2, 4)$.

Área.$$\text{Área} = \int_{-1}^{2} \big[(x + 2) - x^2\big]\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$$Regla de Barrow.$$F(2) = 2 + 4 - \frac83 = \frac{10}{3}, \qquad F(-1) = \frac12 - 2 + \frac13 = -\frac76$$$$\text{Área} = \frac{10}{3} - \left(-\frac76\right) = \frac{20}{6} + \frac76 = \frac{27}{6} = \frac92 = 4{,}5\ \text{u}^2$$Comprobación. Para el segmento parabólico entre $y = x^2$ y una recta que la corta en $x_1$ y $x_2$, el área es $\frac{(x_2 - x_1)^3}{6} = \frac{3^3}{6} = \frac92$ ✓.