Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Sea

f

la función

f(x) = x^2 e^{-4x}

. Calcular la primera y la segunda derivada de

f

. Hallar los máximos y mínimos de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

$f'(x) = 2x\,(1 - 2x)\,e^{-4x}$ .
$f''(x) = (16x^2 - 16x + 2)\,e^{-4x}$ .
Mínimo relativo en $(0, 0)$ y máximo relativo en $\left(\tfrac12,\ \tfrac{1}{4e^2}\right) \approx (0{,}5;\ 0{,}034)$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

f

es un producto de un polinomio por una exponencial, definida y derivable en todo

\mathbb{R}

. Derivamos con la regla del producto (y la de la cadena para

e^{-4x}

), sacando factor común la exponencial para que quede ordenado. Los extremos relativos están donde

f'(x) = 0

; el signo de

f''

en esos puntos (o el de

f'

a cada lado) dice si son máximos o mínimos.

Desarrollo

Primera derivada. Con

(e^{-4x})' = -4e^{-4x}

f'(x) = 2x\,e^{-4x} + x^2\cdot(-4)\,e^{-4x} = (2x - 4x^2)\,e^{-4x} = 2x\,(1 - 2x)\,e^{-4x}

Segunda derivada. Derivamos

f'(x) = (2x - 4x^2)\,e^{-4x}

otra vez por la regla del producto:

f''(x) = (2 - 8x)\,e^{-4x} + (2x - 4x^2)(-4)\,e^{-4x} = (2 - 8x - 8x + 16x^2)\,e^{-4x} = (16x^2 - 16x + 2)\,e^{-4x}

Puntos críticos. Como

e^{-4x} > 0

siempre:

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2x\,(1 - 2x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 0 \quad\text{o}\quad x = \frac12

Clasificación con la segunda derivada.

f''(0) = 2\,e^{0} = 2 > 0 \;\Longrightarrow\; \text{mínimo relativo en } x = 0

f''\!\left(\tfrac12\right) = \left(16\cdot\tfrac14 - 8 + 2\right)e^{-2} = -2\,e^{-2} < 0 \;\Longrightarrow\; \text{máximo relativo en } x = \tfrac12

Valores de la función.

f(0) = 0, \qquad f\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac14\,e^{-2} = \frac{1}{4e^2} \approx 0{,}0338

Comprobación con el signo de $f'$ .

f' < 0

(-\infty, 0)

f' > 0

\left(0, \tfrac12\right)

f' < 0

\left(\tfrac12, +\infty\right)

: decrece, crece y decrece, de acuerdo con un mínimo en 0 y un máximo en

\tfrac12

. Además, como

f(x) = x^2 e^{-4x} \geq 0

para todo

x

f(0) = 0

, el mínimo en

(0, 0)

es también el mínimo absoluto.

Consejo

La corrección da medio punto a cada derivada y medio a cada extremo. Al derivar $e^{-4x}$ no olvides el $-4$ de la regla de la cadena, y saca factor común la exponencial: así resolver $f' = 0$ es inmediato porque $e^{-4x}$ nunca se anula. Da los extremos como puntos $(x, f(x))$ , no solo la $x$ .