Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción B

Vectores con origen en $A$.$$\overrightarrow{AB} = (1, 1, 1) - (0, 0, 1) = (1, 1, 0), \qquad \overrightarrow{AC} = (-1, -1, 2) - (0, 0, 1) = (-1, -1, 1)$$¿Son proporcionales? Las dos primeras coordenadas darían la razón $\tfrac{-1}{1} = -1$, pero la tercera es $\tfrac{1}{0}$: no existe ningún $k$ con $\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}$ (haría falta $1 = k\cdot 0$). Los vectores no son proporcionales, así que los puntos no están alineados.

Vector normal del plano.$$\vec n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \big(1\cdot 1 - 0\cdot(-1),\; 0\cdot(-1) - 1\cdot 1,\; 1\cdot(-1) - 1\cdot(-1)\big) = (1, -1, 0)$$Que no sea el vector nulo confirma otra vez que los puntos no están alineados.

Plano. Con normal $(1, -1, 0)$: $x - y + D = 0$, y pasando por $A(0, 0, 1)$: $0 - 0 + D = 0$, así que $D = 0$:$$\pi: x - y = 0$$Comprobación. $B$: $1 - 1 = 0$ ✓; $C$: $-1 - (-1) = 0$ ✓.