Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: DeterminantesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Dada la matriz

A(a)

A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},

calcular, razonadamente, el valor de

a

para que el determinante de

A(a)^2

valga 4.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|A(a)^2| = a^2 = 4

para

a = 2

a = -2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No hace falta calcular

A(a)^2

: el determinante de un producto es el producto de los determinantes, así que

|A^2| = |A|\cdot|A| = |A|^2

. Basta con el determinante de

A(a)

, que es muy sencillo porque la matriz es triangular inferior.

Desarrollo

Determinante de $A(a)$ . Es triangular (todo lo que hay por encima de la diagonal es 0), así que su determinante es el producto de la diagonal:

|A(a)| = 1\cdot a\cdot 1 = a

Determinante del cuadrado. Por la propiedad

|M N| = |M|\,|N|

\left|A(a)^2\right| = |A(a)\cdot A(a)| = |A(a)|^2 = a^2

Condición del enunciado.

a^2 = 4 \;\Longrightarrow\; a = 2 \quad\text{o}\quad a = -2

Comprobación calculando la matriz.

A(a)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 + a & a^2 & 0 \\ 3 & a + 1 & 1 \end{pmatrix}

que también es triangular, con determinante

1\cdot a^2\cdot 1 = a^2

✓. Las dos soluciones valen: el cuadrado se come el signo.

Consejo

El enunciado pide hacerlo «razonadamente»: la corrección da la mitad de la nota por calcular $A^2$ o, mejor, por justificar que $|A^2| = |A|^2$ , y la otra mitad por el valor de $a$ . No te quedes solo con $a = 2$ : la ecuación $a^2 = 4$ tiene dos soluciones y las dos cumplen.