Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Sobre una mesa tengo tres cajas con botones; la primera caja tiene 3 botones, la segunda 5 y la tercera 4. Cada una de las cajas contiene un solo botón rojo. Si elijo al azar una caja y saco de ella un botón al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un botón rojo?

b) Si he sacado un botón rojo, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la primera caja?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(R) = \dfrac{47}{180} \approx 0{,}261

.

b)

P(C_1 \mid R) = \dfrac{20}{47} \approx 0{,}426

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en dos etapas: primero se elige la caja (cada una con probabilidad

\tfrac13

) y después un botón de esa caja. Un diagrama de árbol lo ordena todo. En a) sumamos las ramas que acaban en rojo (probabilidad total); en b) nos dan el resultado de la segunda etapa y preguntan por la primera: es Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

C_1

C_2

C_3

: el botón sale de la caja 1, 2 o 3;

R

: el botón es rojo.

Probabilidades del árbol. Las cajas se eligen al azar y cada una tiene un solo rojo:

P(C_1) = P(C_2) = P(C_3) = \frac13, \qquad P(R \mid C_1) = \frac13, \quad P(R \mid C_2) = \frac15, \quad P(R \mid C_3) = \frac14

a) Probabilidad total.

P(R) = P(C_1)P(R \mid C_1) + P(C_2)P(R \mid C_2) + P(C_3)P(R \mid C_3) = \frac13\left(\frac13 + \frac15 + \frac14\right)

Con denominador común 60:

\frac13 + \frac15 + \frac14 = \frac{20 + 12 + 15}{60} = \frac{47}{60} \;\Longrightarrow\; P(R) = \frac{47}{180} \approx 0{,}2611

b) Teorema de Bayes.

P(C_1 \mid R) = \frac{P(C_1)\,P(R \mid C_1)}{P(R)} = \frac{\frac13\cdot\frac13}{\frac{47}{180}} = \frac{\frac19}{\frac{47}{180}} = \frac{180}{9\cdot 47} = \frac{20}{47} \approx 0{,}4255

Comprobación. Las otras dos cajas dan

P(C_2 \mid R) = \frac{1/15}{47/180} = \frac{12}{47}

P(C_3 \mid R) = \frac{1/12}{47/180} = \frac{15}{47}

, y

\frac{20 + 12 + 15}{47} = 1

✓. Tiene sentido que la primera caja sea la más probable: es la que tiene menos botones, así que es más fácil sacar su rojo.

Consejo

La corrección valora aparte el planteamiento (nombrar los sucesos y montar el árbol) y luego cada apartado. Escribe la fórmula de la probabilidad total y la de Bayes antes de sustituir: así se ve que sabes lo que haces aunque te equivoques en una fracción. Y comprueba que las probabilidades a posteriori de las tres cajas suman 1.

Paso 1 de 3

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