Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Calcula

\displaystyle\int x\,e^{-4x}\,dx

, explicando el proceso utilizado para dicho cálculo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\int x\,e^{-4x}\,dx = -\frac{e^{-4x}\,(4x + 1)}{16} + C

obtenida por partes con

u = x

dv = e^{-4x}\,dx

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el producto de un polinomio por una exponencial: el caso típico de integración por partes. Elegimos como

u

el polinomio, que se simplifica al derivar (

du = dx

), y como

dv

la exponencial, que se integra sin problema. La integral que queda es inmediata.

Desarrollo

Fórmula de integración por partes.

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

Elección de $u$ y $dv$ .

u = x \;\Longrightarrow\; du = dx, \qquad dv = e^{-4x}\,dx \;\Longrightarrow\; v = \int e^{-4x}\,dx = -\frac14\,e^{-4x}

Aplicamos la fórmula.

\int x\,e^{-4x}\,dx = -\frac14\,x\,e^{-4x} - \int \left(-\frac14\,e^{-4x}\right)dx = -\frac14\,x\,e^{-4x} + \frac14\int e^{-4x}\,dx

Integral que queda (inmediata).

\frac14\int e^{-4x}\,dx = \frac14\cdot\left(-\frac14\,e^{-4x}\right) = -\frac{1}{16}\,e^{-4x}

Resultado agrupado.

\int x\,e^{-4x}\,dx = -\frac14\,x\,e^{-4x} - \frac1{16}\,e^{-4x} + C = -\frac{e^{-4x}\,(4x + 1)}{16} + C

Comprobación derivando.

\frac{d}{dx}\left[-\frac{(4x+1)\,e^{-4x}}{16}\right] = -\frac{4\,e^{-4x} - 4(4x+1)\,e^{-4x}}{16} = -\frac{e^{-4x}\,(4 - 16x - 4)}{16} = x\,e^{-4x} \ ✓

Consejo

El enunciado pide explicar el proceso: la corrección da una parte de la nota por plantear bien la integración por partes (qué es $u$ , qué es $dv$ y la fórmula) y el resto por el cálculo. Ojo con el signo de $v = -\tfrac14 e^{-4x}$ , que es donde más se falla, no olvides la constante $C$ y comprueba derivando.