Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Dada la función

f(x) = x^2 + 64

y el punto exterior a su gráfica

P(6, 0)

, encontrar la recta o rectas tangentes a

f

que pasen por

P

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Hay dos rectas tangentes que pasan por

P(6, 0)

$y = 32x - 192$ , tangente en $(16, 320)$ .
$y = -8x + 48$ , tangente en $(-4, 80)$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El punto

P

no es de la gráfica (

f(6) = 100 \neq 0

), así que no sirve calcular la tangente «en

x = 6

». No sabemos dónde está el punto de tangencia: lo llamamos

(a, f(a))

, escribimos la tangente en ese punto en función de

a

y obligamos a que pase por

P

. Eso da una ecuación en

a

; cada solución es una tangente.

Desarrollo

Tangente en un punto genérico. Con

f'(x) = 2x

, la tangente en

(a,\, a^2 + 64)

y - (a^2 + 64) = 2a\,(x - a) \;\Longleftrightarrow\; y = 2a\,x - a^2 + 64

Que pase por $P(6, 0)$ . Sustituimos

x = 6

y = 0

0 = 12a - a^2 + 64 \;\Longleftrightarrow\; a^2 - 12a - 64 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 256}}{2} = \frac{12 \pm 20}{2}

Así que

a = 16

a = -4

: hay dos tangentes.

Para $a = 16$ . Punto de tangencia

(16, 320)

y pendiente

f'(16) = 32

y = 32x - 256 + 64 = 32x - 192

Para $a = -4$ . Punto de tangencia

(-4, 80)

y pendiente

f'(-4) = -8

y = -8x - 16 + 64 = -8x + 48

Comprobación. En

x = 6

32\cdot 6 - 192 = 0

✓ y

-8\cdot 6 + 48 = 0

✓.

Consejo

El error típico es calcular la tangente en $x = 6$ : esa recta no pasa por $P$ , porque $P$ no está en la gráfica. La corrección da la mitad de la nota por plantear la tangente en un punto genérico $(a, f(a))$ y obligarla a pasar por $P$ , y el resto por cada una de las dos rectas. Comprueba al final que ambas pasan por $P$ .